在△ABD和△DCA中，

，

∴△ABD≌△DCA（SSS）， ∴∠B=∠C．

四、解答题（本大题共4题，第22题7分，第23、24、25每题8分，满分31分）

22．（7分）已知关于x的方程x2+2x﹣a+1=0没有实数根，试判断关于y的方程y2+ay+a=1是否一定有两个不相等的实数根，并说明理由． 【解答】解：∵方程x2+2x﹣a+1=0没有实数根， ∴△1=4﹣4（﹣a+1）=4a＜0， ∴a＜0，

对于关于y的方程y2+ay+a=1， △2=a2﹣4a（a﹣1）=（a﹣2）2， ∵a＜0，

∴（a﹣2）2＞0，即△2＞0，

∴方程y2+ay+a=1一定有两个不相等的实数根．

23．（8分）已知：如图，Rt△ABC中，AC＞BC，∠ACB=90°，CD是△ABC的中线，点E在CD上，且∠AED=∠B．求证：AE=BC．

【解答】证明：延长CD到F使DF=CD，连接AF， ∵CD是△ABC的中线， ∴AD=BD，

第13页（共20页）

在△ADF与△BCD中，∴△ADF≌△BCD， ∴∠F=∠BCD，BC=AF，

∵∠ACB=90°，CD是△ABC的中线， ∴CD=BD， ∴∠B=∠BCD， ∵∠AED=∠F， ∴AE=AF， ∴AE=BC．

，

24．（8分）已知，点B、C是双曲线y=在第一象限分支上的两点，点A在x轴正半轴上，△AOB为等腰直角三角形，∠B=90°，AC垂直于x轴． （1）求点C的坐标；

（2）点D为x轴上一点，当△BCD为等腰三角形时，求点D的坐标．

【解答】解：（1）过点B作BH⊥OA于点H， ∵△AOB是等腰直角三角形，∠B=90°， ∴BH=OH=OA． ∵点B在第一象限， ∴设B（a，a）（a＞0）．

第14页（共20页）

∵点B在双曲线y=上， ∴a2=4，

∴a=2或a=﹣2（不合题意，舍去）， ∴B（2，2）， ∴A（4，0）． ∵AC⊥x轴， ∴设C（4，y），

∵点C在双曲线y=上， ∴C（4，1）；

（2）∵设D（x，0），

∴BC2=5，BD2=x2﹣4x+8，CD2=x2﹣8x+17，

当△BCD是等腰直角三角形时，BC=BD，BC=CD或BD=CD． 当BC=BD，即BC2=BD2时，x2﹣4x+8=5，解得x=1或x=3， ∴D（1，0）或（3，0）；

当BC=CD，即BC2=CD2时，x2﹣8x+17=5，解得x=2或x=6， 当D（6，0）时，BC=CD=

，BD=2

，

∴BC+CD=BD，不能构成三角形， ∴x=6不合题意， ∴D（2，0）；

当BD=CD，即BD2=CD2，x2﹣4x+8=x2﹣8x+17，解得x=， ∴D（，0）．

综上所述，D（1，0），（3，0），（2，0），（，0）．

第15页（共20页）

25．（8分）已知，如图，点D在射线AB上，且AD=2，点P是射线AC上的一个动点，线段PD的垂直平分线与射线AC交于点E，与∠BAC的平分线交于点F．连结DF、PF、EF．

（1）当DF∥AC时，求证：AD=PF．

（2）当∠BAC=60°时，设AP=x，AF=y，求y关于x的函数解析式．

【解答】解：（1）∵AF平分∠BAC， ∴∠BAF=∠FAC， ∵DF∥AC， ∴∠DAF=∠FAC， ∴∠DAF=∠DFA， ∴AD=DF，

∵EF垂直平分DP， ∴DF=PF， ∴AD=PF；

（2）过点F作FG⊥AC于G，FH⊥AB于H， ∵AF平分∠BAC，FG⊥AC，FH⊥AB， ∴FH=FG，∵∠BAC=60°， ∴∠FAC=30°， ∴FG=AF，AG=同理FH=AF，AH=∵EF垂直平分DP， ∴FD=FP，

在Rt△FDH与Rt△FPG中，

第16页（共20页）

AF， AF，