值范围，使得A?X．
分析：本题以二次曲线为背景，它的通法是先求不等式组的解集X，然后再来考虑A与X的包含关系，则必然导致浩繁的讨论，但如果由数想形，构造函数，就可简捷获解．
解：设f(x)?x?2x?a?(x?1)?(a?1),g(x)?x?2bx?5?(x?b)?(5?b)．要使
22222?f(1)?0?a??3；A?X时，则必使f(x),g(x)在[1，3]上的函数图象落在x轴下方，即?f(3)?0??g(1)?0?b?3 ??g(3)?0☆ 设一元二次方程ax?bx?c?0 (a?0)的两个实根为x1,x2，且x1?x2
2????b2?4ac?0???b2?4ac?0???b2?4ac?0 ????x1?0?x1?0b?a?0 ??a?0 ??x1?x2???0,?结论1．? ??或?
a?x2?0?x2?0??f(0)?c?0 ?c?0 ??x?x?c?0 ??b?0 12?b?0 ?a?????b2?4ac?0???b2?4ac?0???b2?4ac?0 ????x1?0?x1?0b?a?0 ??a?0 ?x?x???0结论2．?,? ??或? ?12x?0x?0ac?0 f(0)?c?0 ?2?2???c??x?x??0 ??b?0 12?b?0 ?a?结论3．x1＜0＜x2?af(0)?0 结论4．x1=0, x2＞0?c?0且2bb?0；x1＜0, x2＝0?c?0且?0 aa☆ 设一元二次方程ax?bx?c?0 (a?0)的两个实根为x1,x2，且x1?x2，k为实常数．
??22??b?4ac?0????b?4ac?0??结论1．k＜x1≤x2??af(k)?0 ； 结论2．x1≤x2＜k??af(k)?0
??bb??k ??k ??2a2a??结论3．x1＜k＜x2?af(k)?0； 结论4．有且仅有k1?x1(或x2)?k2?f(k1)?f(k2)?0
a?0a?0????结论5．k1?x1?k2?p1?x2?p2??f(k1)?0,f(k2)?0 或?f(k1)?0,f(k2)?0
?f(p)?0,f(p)?0?f(p)?0,f(p)?01212????a?0a?0????结论6．k1?x1?x2?k2???b2?4ac?0??f(k1)?0,f(k2)?0or?f(k1)?0,f(k2)?0
??bbk???kk???k2121??2a2a??11． 设x1≥x2≥x3≥x4≥2，且x2＋x3＋x4≥x1，证明：(x1?x2?x3?x4)?4x1x2x3x4 证明：令a＝x2＋x3＋x4,b?x2x3x4,则原不等式为(x1?a)?4x1b,即
22x1?2(a?2b)x1?a2=0，令f(x)=x22?2(a?2b)x?a2,则只需证明f(x1)≤0．因
??4(a?2b)2?4a2?16b(b?a)，而
ax2?x3?x4111????≤bx2x3x4x2x3x3x4x2x41113????1，所以b?a,从而?＞0，f(x)与x轴有两个不同的交点．易知这两个交点为4444u?2b?a?2b(b?a)v?2b?a?2b(b?a)[
，下证x1∈[u,v]． a?3x1?3a, ?x1?[,a]，只需证
a3aa,a]?[u,v],即u?,a?v,由于v?2b?a?2b(b?a)?2b?a?a，
33ab?b?a)2?(abb??1)2aa?(a412?)33?a3u?2b?a?2b(b?a)?(b?b?a)2?(所以x1∈[u,v]，从而必有f(x1)≤0． 解法二：只需证明f(x1)≤0，而
aa因此只需证f(a)?0,f()?0而f(a)?4a(a?b)，?x1?a，
33a4a3af()?a(4a?3b)，由?可证得f(a)?0,f()?0 39b43说明：通过构造二次函数，然后利用二次函数的性质来证明一些不等式问题，往往会使问题简化． 12． 在边长为10的正三角形ABC中，以如图所示的方式内接两个正方形
（甲、乙两个正方形有一边相重叠，都有一边落在BC上，甲有一顶点在AB上，乙有一顶点在AC上），试求这样内接的两个正方形面积和的最小值． 解：设甲、乙两正方形的边长分别为x,y，易知BC边上的四条线段之和
为： (1?33310)x?(1?)y?10，记1??k，则y??x，设两333k2正方形面积之和为S，则有S?x?(1055055?x)2?2(x?)2?2，当x??(3?3)?y时，kkk2kS取得最小值，其最小值是Smin?50450252??(3?3)． 222k(3?3)13． 定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)=－x2?2x．另一个函数y=g(x)的定义域为
[a,b],值域为[
11在x∈[a,b]上, f(x)=g(x)．问:是否存在实数m,,],其中a≠b,a、b≠0．
ba2使集合{(x,y)|y?g(x),x?[a,b]}?{(x,y)|y?x?m}恰含有两个元素?
分析：{(x,y)|y?x?m}是以y轴为对称轴由y=x的图象平移所形成的抛物线系．对给定的m它表示一条抛物线，条件(x,y)|y?g(x),x?[a,b]?{(x,y)|y?x?m}恰含有两个元素的意思是函数y=g(x)，x∈[a,b]的图象与抛物线y?x?m恰有两个交点．首先要弄清楚y=g(x)，
2222x∈[a,b]，进而作出它的图象．
??x2?2x (x?0)容易求出奇函数y=f(x)在x＜0时的解析式是f(x)=x?2x．即 f(x)=?2
x?2x (x?0)?211函数y=g(x)的定义域为[a,b],值域为[,],其中a≠b,a、b≠0，这表明
ba可见a、b同号．也就是说y=g(x)，x∈[a,b]的图象在第一或第三象限内．根据f(x)=g(x)（x∈[a,b]以及f(x)的
a?b??1??1 ??ba图象可知，函数g(x)的图象如所示曲线的一部分． 值域与函数的单调状况有关，又与定义域有关．如果只
考虑0＜a＜b＜2或－2＜a＜b＜0两种情况，不能准确地用,a、b表示出值域区间的端点，因此要把区间（0，2），（－2，0）再分细一些，由图中看出，当a、b＞0时，考虑以下三种情况较好．0＜a＜b≤1，0＜a＜1＜b，1≤a＜b＜2．
111＞1．但是x∈（0，1]时，f(x)≤1,这与g(x)的值域区间[,]aba的右端点大于1矛盾．可见不出现0＜a＜b≤1的情形．
?12?g(b)??b?2b?b如果1≤a＜b＜2，由图看出g(x)是减函数，可见?整理得
12??g(a)??a?2a?aa?1 ??(a?1)(a2?a?1)?0? ?，考虑到1≤a＜b＜2的条件，解之得?1?5． 2b??(b?1)(b?b?1)?0?2?完全类似地，考虑到－1≤a＜b＜0，－2＜a＜－1＜b＜0，－2＜b＜a≤－1三种情况后,
如果0＜a＜b≤1，那么
??a??1?5可以在－2＜b＜a≤－1的情况下通过值域条件得出 ?，这就得到了函数 2??b??1 ?1?5?x2?2x (1?x?)??2 g?(x)??? x2?2x (?1?5?x??1)?2?对于某个m，抛物线与函数g?(x)的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第
三象限．因此，m应当使方程x?m??x?2x，在[1，
221?5]内恰有一个实数根，并且使方程2x2?m?x2?2x，在[
?1?5,?1]内恰有一个实数根．问题归结为求m，使2?21?52x?2x?m?0 在[1,]内恰有一个实根??(1)??22由（1）得，方程2x?2x?m在?? x?1m 在[?1?5,?1]内恰有一个实根?(2)?22?[1,1?51?5)?m?h(1)即?2?m?0，由（2）得]内恰有一根，设h(x)?2x?2x2，则h(22?1?512?m??1，即?1?5?m??2，∴m＝－2．易证，抛物线y?x?2与函数g(x)图22象恰有两个交点（―1,―1）和（
5?15?1,) 22 综上所述：题目条件下的实数m＝－2．
说明：解题过程可分为“求函数y?f(x)”，“求函数y?g(x)”，“求m”三个阶段．求函数
y?g(x)的关键步骤是求a,b的值．运用了数形结合的方法和分类讨论的运算过程，最终把求m的
问题化归到求一次方程和二次方程的一定范围内有解的问题．
可以看出，当m∈(－2,0)时,抛物线y?x?m与函数y?g(x)的图象在第一象限内有一个交点,当m∈?1?5,?2时,在第三象限内有一个交点．
2??