∴BM1＝BM2＝3，
∴点M2的坐标为（7，0）．
设直线BC的解析式为y＝kx+c（k≠0）， 将B（4，0），C（0，﹣2）代入y＝kx+c，得： 1??4k?c?0?k?2 ， ，解得：???c??2??c??2∴直线BC的解析式为y＝
1 x﹣2． 21117 x﹣ ，直线D2M2的解析式为y＝x﹣． 222211?x?y???22 或?123?y?x?x?2?22?17x?22，
123x?x?222∵D1M1∥BC∥D2M2，点M1的坐标为（1，0），点M2的坐标为（7，0）， ∴直线D1M1的解析式为y＝
?y???联立直线DM和抛物线的解析式成方程组，得：??y????x1?2?7?x2?2?7?x3?1?x4?3??解得：?1?7 ，?1?7，?y??3 ，?y??2，
?4?3?y1??y2??2?2∴点D的坐标为（2﹣7 ，
1+71-7 ），（2+7 ，），（1，﹣3）或（3，﹣2）．
22（3）分两种情况考虑，如图2所示．
①当点E与点O重合时，过点O作OF1⊥BC于点F1，则△COF1∽△ABC， 设直线AC的解析设为y＝mx+n（m≠0）， 将A（﹣1，0），C（0，﹣2）代入y＝mx+n，得：
?-m?n?0?m??2 ，解得：? ， ??n??2?n??2∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣2． ∵AC⊥BC，OF1⊥BC，
∴直线OF1的解析式为y＝﹣2x．
?y??2x?连接直线OF1和直线BC的解析式成方程组，得：? ， 1y?x?2??24?x???5解得：? ，
?y?8?5?∴点F1的坐标为（
48 ，﹣ ）； 55②当点E不和点O重合时，在线段AB上取点E，使得EB＝EC，过点E作EF2⊥BC于点F2，过点E作EF3⊥CE，交直线BC于点F3，则△CEF2∽△BAC∽△CF3E． ∵EC＝EB，EF2⊥BC于点F2， ∴点F2为线段BC的中点， ∴点F2的坐标为（2，﹣1）； ∵BC＝25 ，
∴CF2＝
11155 BC＝5 ，EF2＝ CF2＝ ，F2F3＝ EF2＝ ， 2222455 ． 4∴CF3＝
设点F3的坐标为（x，∵CF3＝∴x+[
2
1 x﹣2）， 255，点C的坐标为（0，﹣2）， 411252
x﹣2﹣（﹣2）]＝，
16255 （舍去），x2＝， 22解得：x1＝﹣
∴点F3的坐标为（
35，﹣ ）． 2448 ，﹣ ），（2，﹣1）55综上所述：存在以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，点F的坐标为（或（
35 ，﹣ ）． 24
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理的逆定理、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、平行线的性质、相似三角形的性质以及两点间的距离公式，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）找出过点D且与直线BC平行的直线的解析式；（3）分点E与点O重合及点E与点O不重合两种情况，利用相似三角形的性质及等腰三角形的性质求出点F的坐标． 20．（1）BE=【解析】 【分析】
（1）在直角△OPC中，利用勾股定理即可得到圆的半径长，然后利用相似三角形的性质求得BE的长；
31；（2）①DE=；②详见解析. 22（2）①证明△OBD是等边三角形，即可求得DE的长； ②首先证明△OPC≌△OPF，根据切线的判定定理即可证得． 【详解】
解:(1)设☉O的半径是r,则OP=PA+r=1+r,OC=r,PC=3r.∵PC是圆的切线,∴∠PCO=90°, ∴在Rt△PCO中,PC2+OC2=OP2, 即(3r)+r=(1+r), 解得:r=1或r=-2
2
2
1(舍去负值). 3OC1=, OP2在Rt△OPC中,cos∠POC=∴∠POC=60°, ∵∠PCO=90°,BE⊥PE, ∴BE∥OC,
∴△OPC∽△BPE,∠OBD=∠POC=60°, ∴
OCOP2==, BEBP333OC=; 22∴BE=
(2)①在△OBD中,OB=OD,∠OBD=60°,
∴△OBD是等边三角形,∴BD=OB=1,∠BOD=60°. ∴DE=BE-BD=
31-1=; 22②证明:∵∠POF=∠BOD=60°,∠POC=60°, ∴∠POF=POC, ∵在△OPC和△OPF中,
?OC?OF,???POC??POF, ?OP?OP,?∴△OPC≌△OPF(SAS), ∴∠OFP=∠OCP=90°, ∴PF是☉O的切线. 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、切线的判定、三角函数的综合应用，利用勾股定理求得圆的半径是关键．
21．(1)①证明见解析；②△AMN是等边三角形，理由见解析；(2)见解析. 【解析】 【分析】
(1)①先由菱形可知四边相等,再由∠D=60°得等边△ADC和等边△ABC,则对角线AC与四边都相等,利用ASA证明△ANB≌△AMC,得结论;
②根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出:△AMN是等边三角形
(2)①成立,根据正方形得45°角和射线AM绕点A逆时针旋转45°,证明△ANB∽△AMC,得∠ANB=∠AMC; ②不成立,△AMN是等腰直角三角形,利用①中的△ANB∽△AMC,得比例式进行变形后,再证明△NAM∽△BAD,则△AMN是等腰直角三角形
【详解】
(1)如图1，①∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∵∠D＝60°，
∴△ADC和△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°， ∵∠NAM＝60°， ∴∠NAB＝∠CAM，
由△ADC沿射线DC方向平移得到△BCE，可知∠CBE＝60°， ∵∠ABC＝60°， ∴∠ABN＝60°， ∴∠ABN＝∠ACB＝60°， ∴△ANB≌△AMC， ∴∠ANB＝∠AMC；
②如图1，△AMN是等边三角形，理由是： 由∴△ANB≌△AMC， ∴AM＝AN， ∵∠NAM＝60°， ∴△AMN是等边三角形；
(2)①如图2，∠ANB＝∠AMC成立，理由是： 在正方形ABCD中，
∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA＝45°， ∵∠NAM＝45°， ∴∠NAB＝∠MAC，
由平移得：∠EBC＝∠CAD＝45°， ∵∠ABC＝90°，
∴∠ABN＝180°﹣90°﹣45°＝45°， ∴∠ABN＝∠ACM＝45°， ∴△ANB∽△AMC， ∴∠ANB＝∠AMC； ②如图2，不成立，
△AMN是等腰直角三角形，理由是： ∵△ANB∽△AMC， ∴∴
ANAB? ， AMACANAM? ， ABAC∵∠NAM＝∠BAC＝45°， ∴△NAM∽△BAC， ∴∠ANM＝∠ABC＝90°， ∴△AMN是等腰直角三角形．