即=

有

，

=，

=，

当且仅当则有λ的最大值为

21．（Ⅰ）证明：当x＞1时，2lnx＜x﹣（Ⅱ）若不等式围； （Ⅲ）求证：

【考点】R6：不等式的证明． 【分析】（Ⅰ）令函数

（x）在（1，+∞）上单调递减 ，运用单调性即可得证；

．

，即t=±1时，S取得最大值．

；

对任意的正实数t恒成立，求正实数a的取值范

．

，定义域是{x∈R|x＞1}，求出导数，判断函数f

（Ⅱ）由于t＞0，a＞0，故不等式可化为

（*）问题转化为（*）式对任意的正实数t恒成立，构造函数

，求出导数，对a讨论，当0＜a≤2时，当

a＞2时，求出单调性，判断不等式是否成立，即可得到； （

Ⅲ

）

要

证

，

即

证

，由（Ⅱ）的结论令a=2，有

对t＞0恒成立，取可得不等式

成立，变形整理即可得证．

【解答】（Ⅰ）证明：令函数

，定义域是{x∈R|x＞1}，

由

上单调递减， 故当x＞1时，

（Ⅱ）解：由于t＞0，a＞0，故不等式

…（*）

问题转化为（*）式对任意的正实数t恒成立， 构造函数

，可知函数f（x）在（1，+∞）

，即． 可化为

，

则，

（1）当0＜a≤2时，由t＞0，a（a﹣2）≤0，则g'（t）≥0即g（t）在（0，+∞）上单调递增， 则g（t）＞g（0）=0，即不等式（2）当a＞2时，a（a﹣2）＞0

因此t∈（0，a（a﹣2）），g'（t）＜0，函数g（t）单调递减； t∈（a（a﹣2），+∞），g'（t）＞0，函数g（t）单调递增， 故a﹣1＞1， 令

x=a

﹣

1

＞

1

，

由

（

Ⅰ

）

可

知

，由a＞2，即

对任意的正实数t恒成立．

，不合题意．

综上可得，正实数a的取值范围是（0，2]． （

Ⅲ

）

证

明

：

要

证

，

即

证

，

由（Ⅱ）的结论令a=2，有取

可得不等式

成立．

成立，

对t＞0恒成立，

综上，不等式

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请在答题卡上把所选题目对应题号后的方框涂黑.

22．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ，

直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A、B两点．

（1）求圆心的极坐标；

（2）直线l与x轴的交点为P，求|PA|+|PB|．

【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程． 【分析】（1）求出圆心的直角坐标，即可求圆心的极坐标；

（2）直线l与x轴的交点为P，利用参数的几何意义，即可求|PA|+|PB|． 【解答】解：（1）由ρ=4sinθ，得ρ2=4ρsinθ，得x2+y2=4y，

故圆C的普通方程为x2+y2﹣4y=0，所以圆心坐标为（0，2），圆心的极坐标为﹣﹣﹣﹣﹣

．﹣﹣

（2）把代入x2+y2﹣4y=0得t2=4，

所以点A、B对应的参数分别为t1=2，t2=﹣2 令

得点P对应的参数为t0=﹣4

所以|PA|+|PB|=|t1﹣t0|+|t2﹣t0|=|2+4|+|﹣2+4|=6+2=8﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

23．已知函数f（x）=|3x+2|．

（1）解不等式f（x）＜6﹣|x﹣2|；

（2）已知m+n=4（m，n＞0），若|x﹣a|﹣f（x）≤

+

（a＞0）恒成立，求函数a的取值范围．

【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法． 【分析】（1）分类讨论，即可解不等式f（x）＜6﹣|x﹣2|； （2）

=|x﹣a|﹣f（x），要使不等式恒成立，只需范围．

【解答】解：（1）不等式f（x）＜6﹣|x﹣2|，即|3x+2|+|x﹣2|＜6． 当当

时，即﹣3x﹣2﹣x+2＜6，得

时，即3x+2﹣x+2＜6，得

； ；

=

．令g（x）

，即可求函数a的取值

当x＞2时，即3x+2+x﹣2＜6，无解． 综上，原不等式的解集为（2）

．

=

．

令g（x）=|x﹣a|﹣f（x）=|x﹣a|﹣|3x+2|=

∴当时，．

，即

．

，

∴要使不等式恒成立，只需故所求实数a的取值范围是