?Nf(v)?av/v0??Nf(v)?a?Nf(v)?0?(0?v?v0)(v0?v?2v0) (v?2v0)由此可得分布函数表达式为：
?av/Nv0?f(v)??a/N?0?(0?v?v0)(v0?v?2v0) (v?2v0)f(v)满足
类似于概率密度的归一化条件，故
?????f(v)dv＝1,即
?v002v0av2Ndv??adv?1,计算得a?v0v03v0，带入上式得分布函数
f(v)为：
?2v/3v02??2f(v)???3v0?0?(0?v?v0)(v0?v?2v0) (v?2v0)，所以可通过计算矩形面积得该区间粒子数为：
(2)该区间对应的
f(v)为常数
2N3v0 ?N?2N1(2v0?1.5v0)?N 3v03?v02v02v2v211dv?dvv0 ?2?v093v03v0(3) N个粒子平均速率
v??????vf(v)dv??vf(v)dv??00(4)同理0.5v0到1v0区间内粒子平均速率
v0v??0.5v072v2v0 vf(v)dv??dv=20.5v0363v0v012-7 设N个粒子系统在各速率区间对应的粒子数变化率为：
dN?Kdv （V?v?0,K为常量），dN?0 （v?V）
（1） 画出速率分布函数图；（2）用N和V表示常量K；（3）用V表示出平均速率和方均根速率。 解：（1）因为dN?Kdv 所以有：f(v)?dNK?N?dvN （
V?v?0）
f(v)?0 （v?V）故速率函数分布图如右图所示。
（2） 由归一化条件：
f(v) 17
K N
?????f(v)dv??V0V0Kdv?1可得：K?N NVKN（3v??vf(v)dv?V2?1V0vdv?K121?V?VN22
v?(?vf(v)dv)022K13123?(V)?VN338
12-8 某些恒星的温度可达到约1.0?10k，这是发生聚变反应（也称热核反应）所需的温度。通常在此温度下恒星可视为由质子组成。求：（1）质子的平均动能是多少？（2）质子的方均根速率为多大？ 解：（1）??3kT?2.07?10?15J （质子i=3, 只有平动动能） 2（2）
v2?3RT3kT??1.58?106m.s?1（质子质量为1.675?10?27kg） Mm12-9、图中Ⅰ、Ⅱ两条曲线是两种不同气体（氢气和氧气）在同一温度下的麦克斯韦分子速率分布曲线。试由图中数据求：（1）氢气分子和氧气分子的
最概然速率；（2）两种气体所处的温度。解：（1）
vP?2RTM温度相同时，
vP与M成反比
∵MH2?Mo2,∴(vP)H2?(vP)o2. 故从图
知，Ⅱ图线对应的vP值应为氢气的。
∴
(vP)H2?2.0?103m.s
-1,
又由
MO2MH2?16可得：(vP)O2?12(v P)H2?5?10m.s4-1
（2）氢气、氧气温度相同。所以，由v?P2RT得
MMH2MT?v??(vP)H2??4.81?102K
2R2R2P12-10一瓶氧气，一瓶氢气，等压、等温，氧气体积是氢气的2倍，求(1)氧气和氢气分子数密度之比；(2)氧分子和氢分子的平均速率之比． 解：(1)因为 p?nkT 则
nO?1 nHRTMmol?8(2)由平均速率公式v?1.60,
vO?vHMmolH1?
MmolO4212-11若氖气分子的有效直径为2.59?10的平均碰撞次数为多少？
cm,问在温度为600K、压强为1.33?10Pa时氖气分子1s内
18
解：Z?2?d2nv?2?d2(p8RT)?3.81?106s?1 kT?M?312-12一真空管的真空度约为1.38?10(设分子的有效直径d＝3×10解：由气体状态方程
-10
Pa，试求在27℃时单位体积中的分子数及分子的平均自由程
m)．
p?nkT得
p1.38?10?3?317mn???3.33?10
kT1.38?1023?300由平均自由程公式 ??12?dn2，
??12??9?10?20?3.33?1017?7.5 m
2第十三章热力学 1、一定质量的双原子分子理想气体，其体积和压强按PV?a的规律变化，其中a为已知常数，当气体V1由膨胀到V2试求，（1）在膨胀过程中气体所做的功是多少？（2）内能的变化是多少？（3）理想气体吸收的热量是多少？(摩尔热熔为：Cv?2.5R) V2V2解：（1）根据功的定义可得：W??PdV??V1V1a11dV?a(?) V2V1V22(2) ?E?nCv(T2?T1)?2.5Rn(T2?T1)?2.5(P2V2?P1V1),,又因为PV?2.5a(?a， 所以：?E1111?)（3）由热力学第一定律得：Q??E?W?1.5a(?) V2V1V2V152、一定量的氢气在保持压强为4.0?10了6.0?104Pa不变的情况下，温度由00C升高到500C，这个过程吸收J的热量。（Cpm?3.5R;Cvm?2.5R）则，(1)氢气的物质的量是多少？（2）氢气的内能是多少？（3）氢气对外做了多少功？（4）如果氢气的体积保持不变而温度发生了同样的变化，则氢气吸收了多少热量？ 解：（1）由Q??Cpm?T得：??Q?41.3mol.（2）由?E??Cvm?T得：Cpm?T?E??Cvm?T?41.3?8.31?50?2.5J?4.29?104J (3)由热力学第一定律得：W(4)由热力学第一定律得：019
?Q??E?1.71?104J 4?Q??E，所以有：Q??E?4.29?10J
3、理想气体做绝热膨胀，由初状态
?p0,V0?至末状态?p,V?，试证明此过程中气体做的功为：
W?mp0V0?pV。证明：绝热过程Q?0，所以W???E，W??CV,m(T?T0)，
M??1初状态和末状态的方程分别为：P0V0?mRT0，PV?mRT，解出T0与T代入WMM有：
W?CV,m(p0V0?pV)R
，又因为
R?Cp,m?CV,m，
??Cp,mCV,m，所以，
p0V0?pVW???1处水温约为504、有可能利用表层海水和深层海水的温差来制成热机。已知热带海水区域的标称水温是250C，300m深C。则：在这两个温度之间工作的热机的效率是多少？ 解：??1?T2273?5?1??6.7% T1273?2505、一台冰箱工作的时候，其冷冻室中的温度为-10则此制冷机每消耗103C，室温为150C。若按照理想卡诺制冷循环理论，J的功，可以从冷冻室中吸收多少热量？ T2解：由公式e?T1?T2又由公式e?T2273?10263???10.5 得：e?T1?T2(273?15)?(273?10)25?We?1.05?104J QW得：Q6、一定质量的气体，在被压缩的过程中外界对气体做功300J，但这一过程中气体的内能减少了300J，问气体在此过程中是吸热还是放热？吸收或放出的热量是多少？ 解：
∵外界对物体做功 ∴W=300J ∵气体的内能减少了 ∴△U=-300J 根据热力学第一定律 得
Q=△U - W=-300J – 300J= -600J Q是负值，表示气体放热，
因此气体放出了600J的热量。
7．奥托（内燃机）循环是由两个等容过程和两个绝热过程组成的，试求此循的热机效率是多少？ 解：Q吸??CV(Ta?Td) Q放??CV(Tb?Tc)
Q放W??=1?Q吸Q吸20
Tb?Tc， =1?Ta?Td，