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（低质量）。相应的利润由如下收益矩阵（表10-5）给出：
表10－5 巧克力商的博弈
（1）如果有的话，哪些结果是纳什均衡？
（2）如果各企业的经营者都是保守的，并都采用最大最小化策略，结果如何？ （3）合作的结果是什么？
（4）哪个厂商从合作的结果中得好处最多？哪个厂商要说服另一个厂商需要给另一个厂商多少好处？
解：（1）纳什均衡的结果是（高，低）和（低，高），相应的收益分别为（100，800）和（900，600）。
（2）如果1选择低，则有min??20,900???20；如果1选择高，则有min?100,50??50。 因此如果1想要最大化它的最小支付，其最优决策为：
max?min??20,900?,min?100,50???max??20,50??50
所以1会选择高。类似的分析表明2也会选择高，因此两个人都采用最大最小策略的均衡结果为（高，高），相应的支付为（50，50）。
（3）如果双方进行合作，那么他们的目标就是总利润最大化，这样最终的结果就是（低，高），相应的支付为（900，600）。
（4）厂商1从合作的结果中获得的好处多。为了使得厂商2不选择另外一个纳什均衡（高，低），厂商1应当给厂商2一笔800?600?200的支付。
8．考虑在c，f，g，三个主要汽车生产商之间的博弈。每一个厂商可以生产要么大型车，要么小型车，但不可同时生产两种型号的车。即，对于每一个厂商i，i?c，f，g，他的行动集合为AI??SM,LG?。用?i代表i所选择的行动，?iAI，?I??c,?f,?g?代表厂商i的利润。假设，每个厂商的利润函数定义如下：
?i??，如果?j?LG，j?c，f，g；
?，如果?j?SM， j?c，f，g； ?，如果?i?LG，且?j?SM，j?i； ?，如果?i?SM，且?j?LG，j?i；
?，如果?i??j?LG，且?k?SM，j?k?i；
β，如果?i??j?SM，且?k?LG，j?k?i；
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（1）当??????0时，是否存在纳什均衡？请证明。 （2）当??????0时，是否存在纳什均衡？请证明。 证明：该博弈的支付矩阵如表10-6和10-7所示。
表10-6 G汽车厂生产SM型汽车
表10-7 G汽车厂生产LG型的汽车
（1）该博弈存在纳什均衡。首先考虑三家选择的行动相同，那么任一个厂家都将得到数量为?的利润。因为?????，所以任何厂商只要选择和其他两个工厂生产不同型号的产品，就可以获得更高的利润，所以三家工厂生产相同的产品不是纳什均衡。如果三个工厂生产不同的产品，比如说??c,?f,?g???SM,LG,SM?，因为?????，所以C厂已经获得了它可能获得的最高利润，因此它不会背叛；给定其他厂商的选择，F厂生产LG型号的汽车只能获得数量为?的利润，高于它生产SM型号的汽车获得的数量为?的利润，所以F厂也不会背叛；给定其他厂商的选择，G厂在生产两种型号的汽车之间是没有差异的，因为无论那种情况下，他都只能获得数量为?的利润，所以G厂同样不会背叛。
综上可知??c,?f,?g???SM,LG,SM?是一个纳什均衡。类似的分析表明，只要三个工厂生产不同的产品，就是纳什均衡。
（2）只要三个工厂生产的汽车型号不完全相同，这样的结果就是纳什均衡。分析类似于第（1）问。
9．考虑下列策略型博弈（表10-8）：
表10-8 博弈的支付矩阵
请问，该博弈里有几个均衡？为什么？ 答：（1）该博弈的纯策略均衡为（D，R）。
（2）下面分析混合策略均衡。设参与人A分别选择策略U、M和D的概率为?p1,p2,p3?；设参与人B分别选择策略L、M和R的概率为?q1,q2,q3?；下面分三种情况讨论：
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①达到混合均衡时，如果参与人A分别选择策略U、M和D的概率都严格大于零，那么他选择策略U、M和D的期望收益就要相等，即：q1?2q2??2q1?q2?q3
从而解得q1?q2??q3，矛盾，所以对参与人B而言，不存在使得q1，q2，q3同时大于零的混合均衡；对参与人A也有类似的结论成立。
②尽管如此，以上的分析并不能说明不存在混合均衡。因为达到均衡时，有可能存在参与人选择某一行动的概率为零的可能。对A而言，在U、M、D三个行动中选择某一行动的概率等于零的情况共有三种可能。对B也是一样，这样均衡时共有九种可能的情况，下面分别讨论：
a．A选择行动D的概率为零，B选择行动R的概率为零，即p3?q3?0，从而得到如表10-9所示的支付矩阵：
表10-9 博弈的支付矩阵
达到均衡时，A选择M和U应当得到相同的期望支付，即q1?2q2??2q1?q2，整理得到q1?q2；又因为q3?0，所以q1?q2?1。从而解得q1?q2?0.5；同理可得p1?p2?0.5。所以?q1?0.5,q2?0.5,q3?0?和?p1?0.5,p2?0.5,p3?0?就是一个混合均衡。
b．A选择行动D的概率为零，B选择行动M的概率为零，采用类似于①的做法可知，在这种情况下，不存在混合均衡。
c．A选择行动D的概率为零，B选择行动L的概率为零，采用类似于①的做法可知，在这种情况下，不存在混合均衡。
d．A选择行动M的概率为零，B选择行动R的概率为零，采用类似于①的做法可知，在这种情况下，不存在混合均衡。
e．A选择行动M的概率为零，B选择行动M的概率为零，采用类似于①的做法可知，在这种情况下，不存在混合均衡。
f．A选择行动M的概率为零，B选择行动L的概率为零，采用类似于①的做法可知，在这种情况下，不存在混合均衡。
g．A选择行动U的概率为零，B选择行动R的概率为零，采用类似于①的做法可知，在这种情况下，不存在混合均衡。
h．A选择行动U的概率为零，B选择行动M的概率为零，采用类似于①的做法可知，在这种情况下，不存在混合均衡。
i．A选择行动U的概率为零，B选择行动L的概率为零，采用类似于①的做法可知，在这种情况下，不存在混合均衡。
综合上述分析可知，唯一的混合均衡就是：?A??0.5,0.5,0?，?B??0.5,0.5,0?。 ③均衡时，如果A选择某两个行动的概率都等于零，即A只能选择一个行动。这就要求在B的行动中，至少有一对行动可以给自己带来相同的支付，但是由支付矩阵可知，这一条件并不满足，这样均衡时，B也只能选择一个行动，这就退化成了纯策略均衡。所以A选择某两个行动的概率都等于零的混合均衡是不存在的；同理B选择某两个行动的概率都等于零的混合均衡也是不存在的。
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综合上述分析可知，该博弈只有唯一的混和均衡，即：
?q1?0.5,q2?0.5,q3?0?和?p1?0.5,p2?0.5,p3?0?
10．考虑如表10-10和10-11所示的策略型博弈
表10-10 参与人3选择A时的支付矩阵
表10-11 参与人3选择B时的支付矩阵
每一格左边的数字是游戏者1的得益，中间的数字为游戏者2的得益，右边的数字为游戏者3的得益。游戏者3的策略是选A矩阵或选B矩阵。
（1）上述博弈中有几个纯策略纳什均衡？为什么？
（2）如果三个游戏者中可以有两个人结盟共同对付另一个人，会出现什么结果？ 解：（1）上述博弈中有两个纯策略纳什均衡。它们分别为（U，L，A）和（D，R，。对任意的参与人，给定其他两个参与者的行动，他的占优行动用下划线表示出来，由B）
此可以得到这两个纯策略纳什均衡。
（2）若三人中有两人结盟，则不外乎下面三种情况：
①参与人1和2结盟，支付矩阵如表10-12所示，该博弈的均衡是（DR，B）。
表10-12 参与人1和2结盟后博弈的支付矩阵
②参与人1和3结盟，支付矩阵如表10-13所示，该博弈的均衡是（UA，L）和（DB，。 R）
表10-13 参与人1和3结盟后博弈的支付矩阵
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