2⑹如果{an}是等比数列，那么对任意在n?N?，都有an·an?2=a2n·q＞0．
⑺两个等比数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列，且公比等于这两个数列的公比的积．
⑻当q＞1且a1＞0或0＜q＜1且a1＜0时，等比数列为递增数列；当a1＞0且0＜q＜1或a1＜0且q＞1时，等比数列为递减数列；当q=1时，等比数列为常数列；当q＜0时，等比数列为摆动数列．
4．等比数列前n项和公式Sn的基本性质
⑴如果数列{an}是公比为q的等比数列，那么，它的前n项和公式是
?na1,当q?1时,?Sn=?a1(1?qn)
,当q?1时.??1?q也就是说，公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q=1处．因此，使用等比数列的前n项和公式，必须要弄清公比q是可能等于1还是必不等于1，如果q可能等于1，则需分q=1和q≠1进行讨论．
a?anqa1(1?qn)⑵当已知a1，q，n时，用公式Sn=；当已知a1，q，an时，用公式Sn=1．
1?q1?q⑶若Sn是以q为公比的等比数列，则有Sn?m=Sm＋qSn．⑵
⑷若数列{an}为等比数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍然成等比数列． ⑸若项数为3n的等比数列(q≠－1)前n项和与前n项积分别为S1与T1，次n项和与次n项积分别为S2与T2，最后n项和与n项积分别为S3与T3，则S1，S2，S3成等比数列，T1，T2，T3亦成等比数列．
二、难点突破
1．并不是所有的数列都有通项公式，一个数列有通项公式在形式上也不一定唯一．已知一个数列的前几项，这个数列的通项公式更不是唯一的．
2．等差(比)数列的定义中有两个要点：一是“从第2项起”，二是“每一项与它前一项的差(比)等于同一个常数”．这里的“从第2项起”是为了使每一项与它前面一项都确实存在，而“同一个常数”则是保证至少含有3项．所以，一个数列是等差(比)数列的必要非充分条件是这个数列至少含有3项．
3．数列的表示方法应注意的两个问题：⑴{an}与an是不同的，前者表示数列a1，a2，…，an，…，而后者仅表示这个数列的第n项；⑵数列a1，a2，…，an，…，与集合{a1，a2，…，
an，…，}不同，差别有两点：数列是一列有序排布的数，而集合是一个有确定范围的整体；数列的项有明确的顺序性，而集合的元素间没有顺序性．
4．注意设元的技巧时，等比数列的奇数个项与偶数个项有区别，即：
⑴对连续奇数个项的等比数列，若已知其积为S，则通常设…，aq?2，aq?1，a，aq，aq2，…；
?3?13⑵对连续偶数个项同号的等比数列，若已知其积为S，则通常设…，aq，aq，aq，aq，…． ．．
5．一个数列为等比数列的必要条件是该数列各项均不为0，因此，在研究等比数列时，要注意an≠0，因为当an=0时，虽有a2n=an?1·an?1成立，但{an}不是等比数列，即“b2=a·c”是a、b、c成等比数列的必要非充分条件；对比等差数列{an}，“2b=a+c”是a、b、c成等差数列的充要条件，这一点同学们要分清．
6．由等比数列定义知，等比数列各项均不为0，因此，判断一数列是否成等比数列，首先要注意特殊情况“0”．等比数列的前n项和公式蕴含着分类讨论思想，需分分q=1和q≠1进行分类讨论，在具体运用公式时，常常因考虑不周而出错．
数列基础知识定时练习题
（满分为100分+附加题20分，共120分；定时练习时间120分钟）
一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列四个数中，哪一个是数列{n(n?1)}中的一项（）
（A）380（B）39（C）35（D）23
2．在等差数列{an}中，公差d?1，a4?a17?8，则a2?a4?a6???a20的值为（） （A）40（B）45（C）50（D）55
3．一套共7册的书计划每2年出一册，若各册书的出版年份数之和为13979，则出齐这套
书的年份是（）
（A）1997（B）1999（C）2001（D）2003
4．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且
中间两项的和为24，则此等比数列的项数为（） （A）12（B）10（C）8（D）6
5．已知1是a2与b2的等比中项，又是1与1的等差中项，则
aba?ba2?b2的值是（）
（A）1或1（B）1或?1（C）1或1（D）1或?1
22336．首项为－24的等差数列，从第10项开始为正，则公差d的取值范围是（）
（A）d?8（B）d?3（C）8≤d?3（D）8?d≤3
3337．如果-1，a,b,c,-9成等比数列，那么（）
（A）b=3,ac=9
(B)b=-3,ac=9(C)b=3,ac=-9 (D)b=-3,ac=-9
8．在等差数列｛an｝中，已知a1=2,a2+a3=13，则a4+a5+a6等于（）
已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（） 若互不相等的实数a,b,c成等差数列，c,a,b成等比数列，且a?3b?c?10，则a?（）
A．4B．2C．－2D．－4
11．在等比数列｛an｝中，a1＝1，a10＝3，则a2a3a4a5a6a7a8a9=（）
5273在等比数列?an?中,a1?2,前n项和为Sn,若数列?an?1?也是等比数列,则Sn等于（）
(A)2n?1?2(B)3n(C)2n(D)3n?1
【点评】本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。
13．设?an?是公差为正数的等差数列，若a1?a2?a3?15，a1a2a3?80，则a11?a12?a13?（）
A．120B．105C．90D．75
14．设Sn是等差数列?an?的前n项和，若S7?35，则a4?（）
A．8B．7C．6D．5
15．设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若＝，则＝（） （A）（B）（C）（D）
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.把答案填在题中横线上） 1．在数列{an}中，an?1n?n?1，且Sn?9，则n?．
2．等比数列{an}的前三项为x，2x?2，3x?3，则a4?
3．若数列?an?满足：a1?1,an?1?2an.n?1，2，3….则a1?a2???an? . 4．设Sn为等差数列?an?的前n项和，S4＝14，S10－S7＝30，则S9＝ . 5．在数列{an}中，若a1?1，an?1?an?2(n?1)，则该数列的通项an?。 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 1．已知?an?为等比数列，a3?2,a2?a4?20，求?an?的通项式。 32．设等比数列?an?的前n项和为Sn，S4?1,S8?17,求通项公式an??
3．已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an.
4．数列?an?的前n项和记为Sn,a1?1,an?1?2Sn?1?n?1? （Ⅰ）求?an?的通项公式；
（Ⅱ）等差数列?bn?的各项为正，其前n项和为Tn，且T3?15，又a1?b1,a2?b2,a3?b3成等比数列，求Tn
本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力与运算能力。满分12分。
解：由等比数列的性质可得ac＝（－1）×（－9）＝9，b×b＝9且b与奇数项的符号相同，故b＝－3，选
解：在等差数列?an?中，已知a1?2,a2?a3?13,∴d=3，a5=14，a4?a5?a6=3a5=42，选B.
?5a1?20d?15解：??d?3，故选解：由互不相等的实数a,b,c成等差数列可设a＝b－d，c
5a?25d?30?1＝b＋d，由a?3b?c?10可得b＝2，所以a＝2－d，c＝2＋d，又c,a,b成等比数列可得d＝6，所以a＝－4，选
解：因为数列｛an｝是等比数列，且a1＝1，a10＝3，所以a2a3a4a5a6a7a8a9＝ （a2a9）（a3a8）（a4a7）（a5a6）＝（a1a10）4＝34＝81，故选
【解析】因数列?an?为等比，则an?2qn?1，因数列?an?1?也是等比数列， 则
(an?1?1)2?(an?1)(an?2?1)?an?12?2an?1?anan?2?an?an?2?an?an?2?2an?1?an(1?q?2q)?0?q?12
即an?2，所以Sn?2n，故选择答案C。
【解析】?an?是公差为正数的等差数列，若a1?a2?a3?15，a1a2a3?80，则a2?5，
a1a3?(5?d)(5?d)?16，∴d=3，a12?a2?10d?35，a11?a12?a13?105，选【解析】Sn是
等差数列?an?的前n项和，若S7?7a4?35,∴a4?5，选解析:由等差数列的求和公式可得
S33a1?3d1??,可得a1?2d且d?0 S66a1?15d3