解：如图5,所给抛物线的顶点为A0(1,9),对称轴为x＝1,与x轴交于两点B(－2,0)、 C(4,0).

分别以BC、DA为直径作⊙D、⊙E,则 两圆与抛物线均交于两点P(1－2Q(1＋2

,1).

,1)、

可知,点A在不含端点的抛物线PA0Q 内时,∠BAC＜90°.且有3＝DP＝DQ＜AD ≤DA0＝9,即AD的取值范围是3＜AD≤9. 2.3 联想圆幂定理构造辅助圆

例6 AD是Rt△ABC斜边BC上的高,∠B的平行线交AD于M,交AC于N.求证：AB2－AN2＝BM?BN.

分析：因AB2－AN2＝(AB＋AN)(AB－AN)＝BM?BN,而由题设易知AM＝AN,联想割线定理,构造辅助圆即可证得结论. 证明：如图6,

∵∠2＋∠3＝∠4＋∠5＝90°,

又∠3＝∠4,∠1＝∠5, ∴∠1＝∠2.从而,AM＝AN. 以AM长为半径作⊙A,交AB于F,交 BA的延长线于E.则AE＝AF＝AN. 由割线定理有 BM?BN＝BF?BE ＝(AB＋AE)(AB－AF) ＝(AB＋AN)(AB－AN) ＝AB2－AN2, 即 AB2－AN2＝BM?BN.

例7 如图7,ABCD是⊙O的内接四边形,延长AB和DC相交于E,延长AB和DC相交于E,延长AD和BC相交于F,EP和FQ分别切⊙O于P、Q.求证：EP2＋FQ2＝EF2.

分析：因EP和FQ是⊙O的切线,由结论联想到切割线定理,构造辅助圆使EP、FQ向EF转化.

证明：如图7,作△BCE的外接圆交EF于G,连

结CG.

因∠FDC＝∠ABC＝∠CGE,故F、D、C、 G四点共圆.

由切割线定理,有 EF2＝(EG＋GF)?EF ＝EG?EF＋GF?EF ＝EC?ED＋FC?FB

＝EC?ED＋FC?FB ＝EP2＋FQ2, 即 EP2＋FQ2＝EF2.

2.4 联想托勒密定理构造辅助圆 例8 如图8,△ABC与△A＇B＇ C＇的三边分别为a、b、c与a＇、 b＇、c＇,且∠B＝∠B＇,∠A＋∠A ＇＝180°.试证：aa＇＝bb＇＋cc＇. 分析：因∠B＝∠B＇,∠A＋∠A＇

＝180°,由结论联想到托勒密定理,构造圆内接四边形加以证

明.

证明：作△ABC的外接圆,过C作CD∥AB交圆于D,连结AD和BD,如图9所

示.

∵∠A＋∠A＇＝180°＝∠A＋∠D, ∠BCD＝∠B＝∠B＇, ∴∠A＇＝∠D,∠B＇＝∠BCD. ∴△A＇B＇C＇∽△DCB.

有 ＝＝,

即＝＝.

故DC＝,DB＝.

又AB∥DC,可知BD＝AC＝b,BC＝AD＝a. 从而,由托勒密定理,得 AD?BC＝AB?DC＋AC?BD, 即 a2＝c?

＋b?

.

故aa＇＝bb＇＋cc＇.

练习题