精编2010各地中考数学压轴题详解(共21题)1233 下载本文

(2)结论应用:

2y?ax?bx?c的顶点为C(1,4)如图③,抛物线,交x轴于点A(3,0),交y轴2y?ax?bx?c上是否存在除点C以外的点E,于点D.试探究在抛物线使得△ADE与△ACD的面积相等? 若存在,请求出此时点E的坐标,若不存在,请说明理由.

﹙友情提示:解答本问题过程中,可以直接使用“探究新知”中的结论.﹚ B O A x B O A x y D C y D C 图 ③ 备用图

﹙1﹚①证明:分别过点M,N作 ME⊥AB,NF⊥AB,垂足分别为点E,F. ∵ AD∥BC,AD=BC, D N C M ∴ 四边形ABCD为平行四边形. ∴ AB∥CD. ∴ ME= NF.

11E A F B AB?MEAB?NF 图 ① ∵S△ABM=2,S△ABN=2,

∴ S△ABM= S△ABN. ??????????????????????????1分

②相等.理由如下:分别过点D,E作DH⊥AB,EK⊥AB,垂足分别为H,K. 则∠DHA=∠EKB=90°. M D C ∵ AD∥BE, ∴ ∠DAH=∠EBK.

K ∵ AD=BE,

B A H ∴ △DAH≌△EBK.

∴ DH=EK. ???????????2分

∵ CD∥AB∥EF,

F G E 11图 ② AB?DHAB?EK

∴S△ABM=2,S△ABG=2,

∴ S△ABM= S△ABG. ?????????????????????????3分

﹙2﹚答:存在. ????????????????????????????4分

2y?a(x?1)?4. 解:因为抛物线的顶点坐标是C(1,4),所以,可设抛物线的表达式为

又因为抛物线经过点A(3,0),将其坐标代入上式,得0?a?3?1??4,解得a??1.

22∴ 该抛物线的表达式为y??(x?1)?4,即y??x?2x?3. ?????????5分

2∴ D点坐标为(0,3).

设直线AD的表达式为y?kx?3,代入点A的坐标,得0?3k?3,解得k??1. ∴ 直线AD的表达式为y??x?3.

过C点作CG⊥x轴,垂足为G,交AD于点H.则H点的纵坐标为?1?3?2.

∴ CH=CG-HG=4-2=2. ??????????????????????6分

2设点E的横坐标为m,则点E的纵坐标为?m?2m?3.

过E点作EF⊥x轴,垂足为F,交AD于点P,则点P的纵坐标为3?m,EF∥CG. 由﹙1﹚可知:若EP=CH,则△ADE与△ADC的面积相等. y C ①若E点在直线AD的上方﹙如图③-1﹚, 2 E 则PF=3?m,EF=?m?2m?3. D 37

H P B O G F A x 图 ③-1 22∴ EP=EF-PF=?m?2m?3?(3?m)=?m?3m.

∴ ?m?3m?2.

解得m1?2,m2?1. ???????????7分

当m?2时,PF=3-2=1,EF=1+2=3. ∴ E点坐标为(2,3).

同理 当m=1时,E点坐标为(1,4),与C点重合. ????????????8分 ②若E点在直线AD的下方﹙如图③-2,③-3﹚,

22PE?(3?m)?(?m?2m?3)?m?3m. ?????????????????9分 则

∴m?3m?2.解得当m?m?22m3?3?173?17m4?22,. ????????????10分

3?173?171?173??2??222时,E点的纵坐标为;

3?173?17?1?173??2?222当时,E点的纵坐标为.

∴ 在抛物线上存在除点C以外的点E,使得△ADE与△ACD的面积相等,E点的坐标为

E2(

3?171?173?17?1?17,?)E3(,)2222E1(2,3);;. ??????12分

﹙其他解法可酌情处理﹚

y y C C P E D H D H F G A B O B F O G A

x 2 图③-2 图③-3 P E x 216.(浙江绍兴)24.如图,设抛物线C1:y?a?x?1??5, C2:y??a?x?1??5,C1与C2

的交点为A, B,点A的坐标是(2,4),点B的横坐标是-2. (1)求a的值及点B的坐标;

(2)点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H,

在DH的右侧作正三角形DHG. 记过C2顶点M的 直线为l,且l与x轴交于点N.

① 若l过△DHG的顶点G,点D的坐标为

(1, 2),求点N的横坐标; ② 若l与△DHG的边DG相交,求点N的横 坐标的取值范围.

解:(1)∵ 点A(2,4)在抛物线C1上,∴ 把点A坐标代入y?a?x?1??5得 a=1.

2第24题图

∴ 抛物线C1的解析式为y?x2?2x?4,

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设B(-2,b), ∴ b=-4, ∴ B(-2,-4) . (2)①如图1,

∵ M(1, 5),D(1, 2), 且DH⊥x轴,∴ 点M在DH上,MH=5. 过点G作GE⊥DH,垂足为E,

由△DHG是正三角形,可得EG=3, EH=1, ∴ ME=4. 设N ( x, 0 ), 则 NH=x-1,

MEEG?, MHHN5433?1, ∴ ?, ∴ x?45x?153?1. ∴ 点N的横坐标为4由△MEG∽△MHN,得

② 当点D移到与点A重合时,如图2, 直线l与DG交于点G,此时点N的横坐标最大. 过点G,M作x轴的垂线,垂足分别为点Q,F, 设N(x,0),

∵ A (2, 4), ∴ G (2?23, 2), ∴ NQ=x?2?23,NF =x?1, GQ=2, MF =5. ∵ △NGQ∽△NMF,

第24题图1

NQGQ?, NFMFx?2?232∴ ?,

x?15103?8∴ x?.

3∴

当点D移到与点B重合时,如图3, 直线l与DG交于点D,即点B, 此时点N的横坐标最小.

∵ B(-2, -4), ∴ H(-2, 0), D(-2, -4), 设N(x,0),

第24题图2

NHBH?, FNMFx?242?, ∴ x??. ∴

1?x532103?8∴ 点N横坐标的范围为 ?≤x≤.

33∵ △BHN∽△MFN, ∴

第24题图3

17.(山东济宁)23.(10分)如图,在平面直角坐标系中,顶点为(4,?1)的抛物线交

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y轴于A点,交x轴于B,C两点(点B在点C的左侧). 已知A点坐标为(0,3).

(1)求此抛物线的解析式;

(2)过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D, 如果以点C为圆心的圆与直线BD相切,请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系,并给出证明;

(3)已知点P是抛物线上的一个动点,且位于A,

yDAOBCxC两点之间,问:当点P运动到什么位置时,?PAC的

面积最大?并求出此时P点的坐标和?PAC的最大面积.

解:(1)设抛物线为y?a(x?4)2?1.

∵抛物线经过点A(0,3),∴3?a(0?4)2?1.∴a?∴抛物线为y?(第23题)

1. 411(x?4)2?1?x2?2x?3. ???????????3分 44 (2) 答:l与⊙C相交. ?????????????????????????4分

证明:当

1(x?4)2?1?0时,x1?2,x2?6. 422 ∴B为(2,0),C为(6,0).∴AB?3?2?13. 设⊙C与BD相切于点E,连接CE,则?BEC?90???AOB. ∵?ABD?90?,∴?CBE?90???ABO.

又∵?BAO?90???ABO,∴?BAO??CBE.∴?AOB∽?BEC. ∴

CE6?28CEBC???2.??????????6分 .∴.∴CE?OBAB21313∵抛物线的对称轴l为x?4,∴C点到l的距离为2.

∴抛物线的对称轴l与⊙C相交. ?????????????????7分

(3) 解:如图,过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q.

1x?3.???????????????8分 2121设P点的坐标为(m,m?2m?3),则Q点的坐标为(m,?m?3).

42112123 ∴PQ??m?3?(m?2m?3)??m?m.

244211233272 ∵S?PAC?S?PAQ?S?PCQ??(?m?m)?6??(m?3)?,

24244可求出AC的解析式为y??40