（Ⅰ）若从甲、乙两人中选出1人参加比赛，你认为选谁合适？写出你认为合适的人选并说明理由； （Ⅱ）若同一次考试成绩之差的绝对值不超过5分，则称该次考试两人“水平相当”．由上述5次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，求恰有一次摸底考试两人“水平相当”的概率．
18.已知三棱柱??C??1?1C1中，侧棱垂直于底面，???5，?C?4，?C?3，??1?4，点D在AB上．
（Ⅰ） 若D是??中点，求证：?C1//平面?1CD； （Ⅱ）当
?D1?时，求二面角??CD??1的余弦值 ??5x2219．（本小题满分12分）设点F1(?c,0)、F2(c,0)分别是椭圆C:2?y?1(a?1)的左、右焦点,P为
a椭圆C上任意一点,且PF1?PF2的最小值为0． （1）求椭圆C的方程;
（2）设直线l1:y?kx?m,l2:y?kx?n（直线l1、l2不重合）,若l1、l2均与椭圆C相切，试探究在x轴上是否存在定点Q,使点Q到l1、l2的距离之积恒为1?若存在,请求出点Q坐标;若不存在,请说明理由． 20．（本小题满分13分）已知函数f(x)?x?alnx,g(x)??（Ⅰ）若a?1，求函数f(x)的极值；
（Ⅱ）设函数h(x)?f(x)?g(x)，求函数h(x)的单调区间；
（Ⅲ）若存在x0?[1,e]，使得f(x0)?g(x0)成立，求a的取值范围．
21．①选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵A??2??1 ?． ??14?1?a(a?0)． x（1）求A的逆矩阵A?1；
（2）求矩阵A的特征值?1、?2和对应的一个特征向量?1、?2 ②选修4—4：坐标系与参数方程
uuruur?2x?3?t??2在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为?（t为参数），在极坐标系（与直角坐标
?y?5?2t??2系xOy取相同的单位长度，且以原点O为极点，以x轴正半轴 为极轴）中，圆C的方程为??25sin?. （1）求圆C的直角坐标方程；
（2）设圆C与直线l交于A,B两点，若点P坐标为(3,5)，求|PA|?|PB|. ③选修4—5：不等式选讲学 设函数f(x)?|2x?1|?|x?3|。 （Ⅰ）解不等式f(x)?0；
（Ⅱ）已知关于x的不等式a?3?f(x)恒成立，求实数a的取值范围。
参考答案
一．ADDBB CBCBD 二 {?1,0,1} 20
3 94.5 ①③④
?2x(x?0)?2?210．由题可知，f(x)??2x??(0?x?1)，画出图像如图，当函数g(x)?f(x)?k恰有两个零点，
x?xx?2?(x?1)即函数f(x)?k有两个交点时，实数k的取值范围为(2,??)；
16．（1）Qsin(?A)?cosA，?cosA?π25311， 又Q0?A?π， ?sinA?.
14141πQcos(π?B)??cosB??，且0?B?π， ?B?. 6分
23aba?sinB （2）由正弦定理得??b??7，
sinAsinBsinA2222另由b?a?c?2accosB得49?25?c?5c，解得c?8或c??3（舍去），
?b?7，c?8.
17（Ⅰ）答案一： x甲?x乙?85，s甲?s乙 ，从稳定性角度选甲合适．
答案二：Qx甲?x乙?85，s甲?s乙乙的成绩波动大，有爆发力，选乙合适．
（Ⅱ）恰有一次摸底考试两人“水平相当”包括共aA,aB,aC,bA,bB,bC共6种情况． ?5次摸底考试
2222成绩统计，任意抽查两次摸底考试，恰有一次摸底考试两人“水平相当”概率P(A)?63?． 10518．（Ⅰ） 连结BC1，交B1C于E，连结DE． ∵ 直三棱柱ABC?A1B1C1， ∴侧面BB1C1CD是AB中点，为矩形，DE为?ABC1的中位线∴ DE//AC1．
∵DE?平面B1CD，AC1? 平面B1CD，∴AC1//平面B1CD ． （Ⅱ）∵ AC?BC， 由直三棱柱可知，CC1?BC，CC1?AC， 所以如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz． 则B(3,0,0)，A(0,4,0)，A1(0,4,4)B1(3,0,4)． 设D(a,b,0)(a?0,b?0)，
uuur1uuurBD1∵点D在线段AB上，且?， 即BD?BA．
AB55uuuruuuruuur124124∴a?，b?． BC?(?3,0,4)，BA?(?3,4,0)，CD?(,,0)，
5555uurrBCD平面的法向量为n?(0,0,1)， 设平面B1CD的法向量为n2?(x,y,1)， uuuruur4??3x?4z?0?uur?4??x???B1C?n2?0由 ?uuu， 得?12 ， 所以，即n?(?,4,1)． 3ruur4?23x?y?0????CD?n2?05?5?y?4uruurn?n23设二面角B?CD?B1的大小为?， cos??|ur1uur?
|n1|?|n2|13所以二面角B?CD?B1的余弦值为
3． 1319．（1）设P(x,y),则有F1P?(x?c,y),F2P?(x?c,y)
a2?12PF1?PF2?x?y?c?x?1?c2,x???a,a? 2a22222由PF1?PF2最小值为0得1?c?0?c?1?a?2,
x2∴椭圆C的方程为?y2?1 4分
2（2）把l1的方程代入椭圆方程得(1?2k)x?4mkx?2m?2?0] ∵直线l1与椭圆C相切,∴??16km?4(1?2k)(2m?2)?0,化简得
2222222m2?1?2k2 同理可得n2?1?2k2
∴m2?n2,若m?n,则l1,l2重合,不合题意, ∴m??n,即m?n?0 8分 设在x轴上存在点Q(t,0),点Q到直线l1,l2的距离之积为1,则
|kt?m||kt?m|??1,即|k2t2?m2|?k2?1, k2?1k2?1把1?2k2?m2代入并去绝对值整理, k(t?3)?2或者k(t?1)?0
前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的k?R恒成立 则t2?1?0,解得t??1; 综上所述,满足题意的定点Q存在,其坐标为(?1,0)或(1,0) 13分 20．（Ⅰ）f(x)?x?alnx的定义域为(0,??) 当a?1时，f?(x)?2222x?1??． f(x)?0，解得x?1.当0?x?1时，f(x)?0,f(x)单调递减；当x?1x?时，f(x)?0,f(x)单调递增；
所以当x?1时，函数f(x)取得极小值，极小值为f(1)=1?ln1?1； ..4分 （Ⅱ）h(x)?f(x)?g(x)?x?alnx?1?a，其定义域为(0,??)． xx2?ax?(1?a)(x?1)[x?(1?a)]?又h?(x)?． ..6分
x2x2由a?0可得1?a?0，在x?(0,1?a)上h(x)?0，在x?(1?a,??)上h(x)?0， 所以h(x)的递减区间为(0,1?a)；递增区间为(1?a,??)． .. 7分 （Ⅲ）若在[1,e]上存在一点x0，使得f(x0)?g(x0)成立，
即在[1,e]上存在一点x0，使得h(x0)?0．即h(x)在[1,e]上的最小值小于零． 8分 ①当1?a?e，即a?e?1时，由（II）可知h(x)在[1,e]上单调递减． 故h(x)在[1,e]上的最小值为h(e)，由h(e)?e???1?a?a?0， ee2?1e2?1e2?1可得a?. 因为； ?e?1．所以a?e?1e?1e?1②当1?1?a?e，即0?a?e?1时，
由（II）可知h(x)在(1,1+a)上单调递减，在(1?a,e)上单调递增．
h(x)在[1,e]上最小值为h(1?a)?2+a?aln(1?a)． 11分
因为0?ln(1?a)?1，所以0?aln(1?a)?a．
?2+a?aln(1?a)?2，即h(1?a)?2不满足题意，舍去． 12分
e2?1综上所述a?(,??)． 13分
e?1