第二章 牛顿定律

1．关于惯性有下面四种说法，正确的为：（ ） A. 物体静止或作匀速运动时才具有惯性； B. 物体受力作变速运动时才具有惯性； C. 物体受力作变速运动时才没有惯性；

D. 惯性是物体的一种固有属性，在任何情况下物体均有惯性。 解：答案是D 。

2．下列四种说法中，正确的为：（ ）

A. 物体在恒力作用下，不可能作曲线运动； B. 物体在变力作用下，不可能作曲线运动；

C. 物体在垂直于速度方向，且大小不变的力作用下作匀速圆周运动； D. 物体在不垂直于速度方向的力作用下，不可能作圆周运动； 解：答案是C。

3．一质点从t=0时刻开始，在力F1=3i+2j (SI) 和F2= ?2i?tj (SI)的共同作用下在Oxy平面上运动，则在t=2s时，质点的加速度方向沿 （ ）

A. x轴正向 B. x轴负向 C. y轴正向 D. y轴负向 解：答案是A。

合力F=F1+F2=i+(2?t)j。在t=2s时，力F = i, 沿x轴正方向，加速度也沿同一方向。

4．一人肩扛一重量为P的米袋从高台上往下跳，当其在空中运动时，米袋作用在他肩上的力应为：（ ）

A. 0 B. P /4 C. P D. P/2

解：答案是A。

简要提示：米袋和人具有相同的加速度，因此米袋作用在他肩上的力应为0。 5．质量分别为m1 和m2 的两滑块A 和B 通过一轻弹簧水平连结后置于水平桌面上，滑块与桌面间的滑动摩擦系数均为? ，系统在水平拉力F 作用下匀速运动，如图所示．如突然撤选择题5图 消拉力，则刚撤消后瞬间，二者的加速度aA 和aB 分别为

A. aA = 0，aB = 0； B. aA > 0，aB < 0； C. aA < 0，aB > 0 D. aA < 0，aB = 0 。 解：答案是D。 简要提示：水平拉力刚撤消的瞬间,滑块A受到的合力为弹力和滑动摩擦力，均指向负x方向，滑块B受到的合力仍然为零。

6. 两个物体A和B用细线连结跨过电梯内的一个无摩擦的轻定滑轮。已知物体

A的质量为物体B的质量的2倍，则当两物体相对电梯静止时，电梯的运动加速度为：( )

A. 大小为g，方向向上 B. 大小为g，方向向下 C. 大小为g/2，方向向上 D. 大小为g/2，方向向下 解：答案是B。

简要提示：设电梯的加速度为a，方向向下。以地面为参考系，则物体A和B的动力学方程分别为：

2mg?T?2ma mg?T?ma 两式相减，得：a = g

7．在足够长的管中装有粘滞液体，放入钢球由静止开始向下运动，下列说法中正确的是：（ ）

A. 钢球运动越来越慢，最后静止不动；

B. 钢球运动越来越慢，最后达到稳定的速度； C. 钢球运动越来越快，一直无限制地增加； D. 钢球运动越来越快，最后达到稳定的速度。 解：答案是D 。

8. 质量为m的物体最初位于x0处，在力F = ? k/x2作用下由静止开始沿直线运动，k为一常数，则物体在任一位置x处的速度应为（ ）

A.

k112k113k11k11(?) B.(?) C.(?) D.(?) mxx0mxx0mxx0mxx0解：答案是B。 简要提示： a?dvdvk1 ?v??dtdxmx2vx12k11k1 v?(?)， vdv?(?)dx?0?x0mx22mxx02k11(?) mxx0所以 v?

二 填空题

1. 一质量为5kg物体（视为质点）在平面上运动，其运动学方程为r=6i ?3t2 j (SI)，则物体所受合外力的大小为_____N。

解：答案为：30N

由运动学方程求出物体的加速度a= ?6 j (SI)，因此物体所受合外力的大小为ma=5?6=30 N。

2. 如图所示，一根轻弹簧的两端分别固连着质量相等的两个物体A和B，用轻线将它们悬挂起来，在将线烧断的瞬间，物体A的加速度大小是_____ m ? s–2，物体B的加速度大小是 m ? s–2

解：答案为：2g； 0。

简要提示：A物体 ma=mg+mg，∴ a=2g。 B物体ma=mg?mg，∴ a=0。

3. 如图所示，一细线一端系着质量为m的小球，另一端固定于o点，可在竖直平面上摆动，将小球拉至水平位置后自由释放，当球摆到与铅直线成??角的位置时，小球的切向加速度大小为 ；法向加速度大小为 。

解：答案为：gsin? ； 2g cos? 。

简要提示：由受力分析得：切向加速度大小a?=gsin? ， 法向加速度大小an= v 2/l =2g l cos? /l =2g cos? 。

m F m1 m m2

填空题2图

填空题3图

填空题4图

O 4. 如图所示，一条重而均匀的钢绳，质量m = 4 kg，连接两物体，m1 = 7 kg，m2 = 5 kg，现用F=200 N的力向上作用于m1上，则钢绳中点处的张力为 N。

解：87.5 N 。

F?(m?m1?m2)g简要提示：a??2.5m?s?2,

m?m1?m2T?(m2?m/2)g?(m2?m/2)a， T?(m2?m/2)(g?a)?87.5N

5. 一条公路的某处有一水平弯道，弯道半径为50m，若一辆汽车车轮与地面的静摩擦因数为0.6，则此车在该弯道处行驶的最大安全速率为 。

解：答案为17.1 m ? s–1

2mvmax简要提示： ??smg，

R最大安全速率为

vmax??sRg?0.6?50?9.8?17.1m?s?1

6. 如图所示，堆放着三块完全相同的物体，质量均为m，设各接触面间的静摩擦因数与滑动摩擦因数也都相同，均为? 。若要将最底下的一块物体抽出，则作用在其上的水平力F至少为 。

m

解：答案为： 6? mg。

m 简要提示：对于最下面一块物体，有

F?2mg??3mg??ma， m F?5mg??ma。

可以算出上面两块物体因摩擦获得的加速度都是

填空题6图

?g，所以若要将最底下的一块物体抽出，则要求a>?g。得到：F ? 6 ? mg 。作用在其上的水平力F至少为6 ? mg。

7. 已知月球的质量是地球的1/81，月球半径为地球半径的3/11，若不计自转的影响，在地球上体重为G1的一人在月球上的体重约为 。

解：答案为：G1/6 。

简要提示：人在地球上的重力 G1?人在月球上的重力 G2?mm地r1mm月r222

m月 ∴

G2r?2G1m地2r121m地81?1 ??2r22(3)26(2)11r1m月8. 质量为m的小球用长为L的绳子悬挂着，在水平面内作匀速率圆周运动，如

图所示，设转动的角速度为?，则绳子与竖直方向的夹角?为????????????????????。?

g解：答案为：arccos(2)?

?L??L m1 m2

m m3

填空题8图 填空题9图

简要提示：设绳上张力为F，由动力学方程?

Fsin??m?2Lsin??

???????????????????????????????????????????????????Fcos??mg?可得：??????????????cos??g?L2，??arccos(g?L2)?

9. 如图所示，质量分别为m1、m2和m3的物体叠放在一起，则当三物体匀速下落时，m2受到的合外力大小为 ；当它们自由下落时，m3受到的合外力大小为 ；当它们以加速度a上升时，m1受到的合外力大小为 ；当它们以加速度a下降时，三物体系统受到的合外力大小为 ；

解：答案为：0； m3g； m1a； (m1+m2+m3)a 。 简要提示：由受力分析和牛顿第二定律可以得到。

三 计算题

1．如图示，A、B两物体质量均为m，用质量不计的定滑轮和细绳连接，并不计摩擦，求A、B获得的加速度大小。

解 设悬挂B物体细绳上的张力为F，则悬挂A物体细绳上的张力为2F，物体A和B的运动方程分别为：

mg?F?maB 2F?mg?maA

A

B

计算题1图

由于在相同的时间内B向下运动的距离是A向上运动的距离的两倍，故有

aB?2aA

由以上三式解得A的加速度大小为aA=g/5，B的加速度大小为aB= 2g/5。

2．一质量为1.2kg的质点沿半径为lm的圆轨道运动，切向加速度大小恒为3m·s?2，则当该质点速率为2 m·s?1时，试求它所受到的合力大小。

解：答案为6N

切向加速度大小at=3, 法向加速度大小an=v2/R=4/1=4, 故质点的加速度大小a=5 m·s?2. 因此它所受到的合力大小F=ma=1.2?5=6 (N)

3. 如图所示，一质量为m的小球最初位于光滑圆形

o A B 凹槽的A点，然后沿圆弧ADCB下滑，试求小球在C点

? F r 时的角速度和对圆弧表面的作用力，设圆弧半径为r 。

C 解：小球在D点处角度?=0，开始在A点处角度?=

D ??/2。设圆弧表面对小球的的作用力为F，在C点处由

计算题3图

牛顿第二定律

d v ?mgsin??m （1）

dt F?mgcosα?mr?2 （2）

式（1）左边的负号表示切向力是使速率减小。由式（1）得到

dαd?d? gsinα??r.??r?dtdαdα积分 g?πsinαdα??r??d?

?20α?

22gcosα ??

r2gcosα代入（2） F?mgcosα?mr?3mgcosα

r gcosα?r?2小球对圆弧表面的的作用力与F大小相等，方向相反。

4. 一质量为80 kg的人乘降落伞下降，向下的加速度为2.5 m ? s–2，降落伞的质量为2.5 kg，试求空气作用在伞上的力和人作用在伞上的力。

解：（1）由 (M?m)g?fr?(M?m)a，得到 fr?(M?m)(g?a)?(80?2.5)(9.8?2.5)?602(N)，方向向上。 （2）Mg?T?Ma，得到

T?M(g?a)?80(9.8?2.5)?584(N) 由牛顿第三定律，人作用在伞上的力

T′?T?584N，方向向下。

5. 一学生为确定一个盒子与一块平板间的静摩擦因数?s和动摩擦因数?，他将盒子置于平板上，逐渐抬高平板的一端，当板的倾角为30°时，盒子开始滑动，并恰好在4s内滑下4m的距离，试据此求两个摩擦因数。

解：由fs?μsmgcosθ, fs?mgsinθ?0，得到

? μs?tan30°3?0.577 3下滑时 mgsinθ??mgcosθ?ma

1由匀加速直线运动 s?at2 a?2s/t2?0.5m?s?2

2将上式中mgsinθ 以fs?μsmgcosθ代入得

μsmgcosθ??mgcosθ?ma

a0.5 μ?μs??0.577??0.52

gcosθ9.8?0.8666．地球的半径R = 6.4?10 3 km，地面上的重力加速度g=GmER2 =9.8 m ? s– 2，其

中G为引力常量，m E为地球质量，求证地球同步卫星离地高度应为3.6?104 km。

证明：设卫星质量为m，离地心距离为R s，则其离地高度为H = R s ? R 。故有

m?2 Rs = G m E m / Rs2 (?为地球自转角速度)

mEGmER2R23 Rs?G2?2.2?g2

?R??得 Rs?(gR2?21)3?39.8?(6.4?106)2(2π/86400)7 ?4.23?10(m) 234所以： H?Rs?R?(42.3?6.4)?10?3.6?10(km)

7. 质量为m的质点，原来静止，在一变力作用下运动，该力方向恒定，大小随时间变化，关系为F = F0[1 ?（t ? T）/ T ]，其中F0、T为恒量，求经过2T时间后质点的速度。

解：由牛顿第二定律，有：

mdvtFt?F0(2?)， d v?0(2?)dt，

mTdtT2T两边积分得： v??F02FTt(2?)dt?0 0mTm8. 质量m = 10kg的物体沿x轴无摩擦地运动，设t = 0时，物体位于原点，速

度为零。试求物体在外力F = 4+3x作用下，运动了5 m时的速度。

解：已知：x0?0，v0?0，所以由牛顿运动定律

a?d vd v4?3x， ?v?F/m?dtdxm4?3xdx m50得 vd v?两边积分

?v0vdv??4?3xdx m解得 v?3.4m?s?1

9. 一质量为m的小球，从高出水面h处的A点自由下落，已知小球在水中受到的粘滞阻力与小球的运动速度v成正比，设小球在水中受到的浮力可忽略不计，如以小球恰好垂直落入水中时为计时起点（t=0），试求小球在水中的运动v随时间t变化的关系式。

mdvdv解：由牛顿第二定律 m ?mg?kv，得到dt?mg?kvdttvmdvmvd(mg?kv)两边积分得： ?dt?? ???0v0mg?kvkv0mg?kvvmmg?kv0m ∴ t??ln(mg?kv)?ln

vokkmg?kv?t?tmg(1?em)?v0em 故 v?k因 v0?2gh

kk?t?tmg所以 v?(1?em)?2ghem

kkk10. 一条均匀的绳子，质量为m，长度为L，一端拴在转轴上，并以匀角速度??旋转，忽略绳子的重力，求距离转轴r处绳子的张力。

解：取径向向外为坐标轴的正方向，如图所示，在绳子上取一微元dr，由牛顿第二定律：

dF??dm?2r??m?2rdr/L

dr OF F+dF 注意绳子末端是自由端，受力为零，所以两边积分：

?0FdF???m?2rdr/L

Lrm?22得： F?(L?r2)

2L