2018—2019学年度下学期期末考试
高二年级理科数学答案
一、选择题 题号 答案 1 C 2 D 3 A 4 C 5 B 6 D 7 C 8 D 9 C 10 A 11 A 12 C 二、填空题
13. 1 14. 1 15.（-3，-2） 16. (1,??) 三、解答题
17. （1）由题意及正弦定理，得AC?AB?3BC.……………………………………………2分
∵AB?BC?AC?3?1，∴3BC?BC?3?1，……………………………………4分 ∴BC?1. …………………………………………6分 （2）∵S?ABC?又∵AC?AB?2112AC?AB?sinA?sinA，∴AC?AB?. ………………………8分 2333，由余弦定理，得
2243??1AC?AB??2AC?AB?BC?AC?AB?BC13cosA?? ??，………10分
42AC?AB2AC?AB2322∴A?60?. ……………………………………………12分 18. （1）因为?0.05?0.15?2a?0.30??1?1，解得a?0.25.
点外卖用户的平均送餐距离为0.05?0.5?0.25?1.5?0.3?2.5?0.25?3.5?0.15?4.5?2.7千米. （2）（i）由题意知X的所有可能取值为3，5，9.
P?X?3??0.05?0.25?0.30；P?X?5??0.30?0.25?0.55；P(X?9)?0.15.
所有X的分布列为
X P 3 0.30 5 0.55 9 0.15 X的数学期望为E?X??3?0.30?5?0.55?9?0.15?5（元）.
19. （Ⅰ）证明：∵矩形和菱形所在的平面相互垂直，， ∵矩形菱形，∴平面， ∵AG平面，∴，
∵菱形中，，为的中点，∴，∴， ∵，∴平面.
(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知，，两两垂直，以为原点，为轴，为轴，为轴， 建立空间直角坐标系， ∵，，则，， 故，，，， 则，，，
设平面的法向量，则， 取，得，
设平面的法向量，则， 取，得，
设二面角的平面角为，则，
由图可知为钝角，所以二面角的余弦值为 .
20. （Ⅰ）由已知可得，，即点到定点的距离等于它到直线的距离， 故点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，∴曲线的方程为. （Ⅱ）设，，， 由，得， ∴， ∴，，即，
∵直线与圆相切于点， ∴，且， 从而，， 即：，
整理可得，即， ∴，
故直线的方程为或.
21. （1）当m?1时，f?x??ex?x2?x?1，f'?x??exx2?3x.
???令f?x??0，得x?0或x??3.
∴函数y?f?x?的单调递增区间为???,?3?，?0,???.
x2x（2）f'?x??e????m?2?x??1?m???，
f?0??1?m，f'?0??1?2m.
∴函数y?f?x?的图象在点0,f?0?处的切线方程为y??1?2m???1?m??x?0?. 即?m?1?x?y?2m?1?0.
方程?m?1?x?y?2m?1?0可化为m?x?2???x?y?1??0， 当{??x?2?0x??2{即时，对任意m?R，?m?1?x?y?2m?1?0恒成立.
x?y?1?0y??1∴函数y?f?x?的图象在0,f?0?点处的切线方程?m?1?x?y?2m?1?0经过定点??2,?1?.
x2x（3）f'?x??e????m?2?x??1?m???.
2令y1?x?mx?1?2m，y2?x??m?2?x??1?m?，
??2?1?m2?4?1?2m??m2?8m?4，?2??m?2??4?1?m??m2?8m.
22①当?2?0即?8?m?0时，y?x??m?2?x??1?m??0， x2∴f'?x??e??x??m?2?x??1?m????0，
∴y?f?x?在???,???上单调递增，
∴y?f?x?在???,???上不存在最大值和最小值.
2②当?2?0即m??8或m?0时，设方程x??m?2?x??1?m??0的两根为x1,x2.
f'?x?，f?x?随x的变化情况如下表：
当x???时，f?x??0，f?x??0；当x???时，f?x????.
∴要使y?f?x?在???,???上有最大值或最小值，只需满足f?x2??0即y1?0有解.
∴?1?m?4?1?2m??m?8m?4?0，解得m??4?25或m??4?25. 22综上可得，m??4?25或m??4?25. ?x?1?cos?222.（I）利用cos??sin??1，把圆C的参数方程?（?为参数）化为?x?1??y2?1，
?y?sin?222∴??2?cos??0，即??2cos?．
由2?sin(???3)?33化简得：?sin??3?cos??33 ，则直线的直角坐标方程为:
y?3x?33，
??1?1??1?2cos?1??（II）设(?1,?1)为点P的极坐标，由?，解得?． ???1??1???33????2sin?2?3cos?2?33??2?3??设(?2,?2)为点Q的极坐标，由?，解得?． ????2???2?3?3?∵?1??2，∴PQ?|?1??2|?2．∴PQ?2．
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