高数中的重要定理与公式及其证明（一）

考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力，最后还弄得自己一头雾水。因此，在这方面可以有所取舍。 应深受大家敬佩的静水深流力邀，也为了方便各位师弟师妹复习，不才凭借自己对考研数学的一点了解，总结了高数上册中需要掌握证明过程的公式定理。这些证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，从长远来看都是应当熟练掌握的。

由于水平有限，总结不是很全面，但大家在复习之初，先掌握这些公式定理证明过程是必要的。 1）常用的极限

ln(1?x)1?cosx1ex?1ax?1(1?x)a?1lim?1，lim? lim?1，lim?lna，lim?a，x?0x?0x?0x?0x?0xx22xxx【点评】：这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了，但有没有人想

?x)?e与过它们的由来呢？事实上，这几个公式都是两个重要极限lim(1x?01xsinx?1的推论，它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本的方法技

x?0x巧。 证明： lim1ln(1?x)ln(1?x)lim?1：由极限lim(1?x)x?e两边同时取对数即得lim?1。

x?0x?0x?0xx

ln(1?x)ex?1?1中，令ln(1?x)?t，则x?et?1。由于极限lim?1：在等式limx?0x?0xx过程是x?0，此时也有t?0，因此有limt?0t?1。极限的值与取极限的符号et?1ex?1?1。 是无关的，因此我们可以吧式中的t换成x，再取倒数即得limx?0x

ax?1ax?1exlna?1lim?lna：?lim利用对数恒等式得lim，再利用第二个极限可x?0x?0x?0xxxexlna?1exlna?1ax?1?lnalim?lna。因此有lim?lna。 得limx?0x?0xlnax?0xx

(1?x)a?1lim?a：利用对数恒等式得 x?0x(1?x)a?1ealn(1?x)?1ealn(1?x)?1ln(1?x)ealn(1?x)?1ln(1?x)lim?lim?alim?alimlim?ax?0x?0x?0x?0x?0xxaln(1?x)xaln(1?x)x上式中同时用到了第一个和第二个极限。

xx??2sinsin1?cosx1?cosx12?1lim?2??1。lim?limlim?：利用倍角公式得 ?x?222x?0x?0x?0x?0xx22x2???2?222）导数与微分的四则运算法则

(u?v)'?u'?v', d(u?v)?du?dv(uv)'?u'v?uv', d(uv)?vdu?udv

u'vu'?uv'uvdu?udv()?, d()?(v?0)22vvvv【点评】：这几个求导公式大家用得也很多，它们的证明需要用到导数的定义。而导数的证明也恰恰是很多考生的薄弱点，通过这几个公式可以强化相关的概念，避免到复习后期成为自己的知识漏洞。具体的证明过程教材上有，这里就不赘述了。 3）链式法则

设y?f(u),u??(x)，如果?(x)在x处可导，且f(u)在对应的u??(x)处可导，则复合函数y?f(?(x))在x处可导可导，且有：

?f(?(x))??【点评】：同上。 4）反函数求导法则

'f'(u)?'(x)或dydydu? dxdudx设函数y?f(x)在点x的某领域内连续，在点x0处可导且f'(x)?0，并令其反函数为x?g(y)，且x0所对应的y的值为y0，则有：

11dx1 ?或?''dyf(x0)f(g(y0))dydx【点评】：同上。 g'(y0)?5）常见函数的导数

?x???x?'??1，

'?sinx?'?cosx，?cosx???sinx，

?lnx?x''?11'，?logax??， xxlnax?e??e，?ax??exlna

'【点评】：这些求导公式大家都很熟悉，但很少有人想过它们的由来。实际上，

掌握这几个公式的证明过程，不但可以帮助我们强化导数的定义这个薄弱点，对极限的计算也是很好的练习。现选取其中典型予以证明。 证明：

f(x??x)?f(x)?'，代入该公式得 ?x???x??1：导数的定义是f'(x)??limx?0?x?x??x?(1?)?1(1?)?1??(x??x)?x?'???1xx?x?xlim??x??1。最后一?x???limx?0?x?0?x?x?xx(1?x)a?1?a。注意，这里的推导过程仅适用于x?0的情形。步用到了极限limx?0xx?0的情形需要另行推导，这种情况很简单，留给大家。

sin(x??x)?sinx''lim，由和差化积公式得?sinx??cosx：利用导数定义?sinx???x?0?x?x?x2cos(x?)sinsin(x??x)?sinx22?cosx。?cosx?'??sinx的证明类lim?lim?x?0?x?0?x?x似。

?xln(1?)1ln(x??x)?lnx'x?1。lim?lim?lnx??：利用导数定义?lnx?'??x?0?x?0x?x?xx1lnx'的证明类似（利用换底公式logax?）。 ?logax??xlnalna

?e??ex'x：利用导数定义?ex'??xe(x??x)?ex?1xxex'?lim?lime?e。a?exlna的???x?0?x?0?x?x证明类似（利用对数恒等式ax?exlna）。