是（B）
k1?1CnCmCnk?m?mm (A) k; (B) 1?k; (C) ; (D) kCnCnCnrCm. ?kCr?1nk2. 掷两枚均匀硬币,出现一正一反的概率是（B）
（A）
1113; B ( () C;) ; ( D). 3244三、计算下列各题
1．已知10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。
（1）两只都是正品 ；（2）两只都是次品 ；（3）一只是正品，一只是次品；（4）至少一只是正品。
C8228; (2)解 （1） p1?2?C10452C21p2?2?
C1045 (3)p3?11C8C22C10?16144; ( 4 ) p 4?1?p2?1??. 4545452. 把10本书任意放在书架上，求其中指定的5本书放在一起的概率。 解 所求概率p?6!?5!1?. 10!42 3. 某学生宿舍有8名学生，问（1）8人生日都在星期天的概率是多少？（2）8人生日都不在星期天的概率是多少？（3）8人生日不都在星期天的概率是多少？
解 (1)1?1?p1?8???;
7?7?68?6?p2?8???; (3)7?7?88 (2)1?1?p3?1?8?1???。
7?7?84．从0 ~ 9中任取4个数构成电话号码（可重复取）求： （1）有2个电话号码相同，另2个电话号码不同的概率p； （2）取的至少有3个电话号码相同的概率q。 解 (1)122C10C4A9p??0.432；
10411C1C34A1?09C10?0.0 37 (2)q?104 52
5. 某工厂生产过程中每批出现次品的概率为0.05,每100个产品为一批,检查产品质量时,在每一批任取一半来检查,如果发现次品不多于一个,则这批产品可以认为是合格的.,求一批产品被认为是合格的概率p。
解 可以认为一批100个产品中有5个次品,
505149基本事件总数?C100, 有利的基本事件数?C95?C5C955149C95?C5C95所求概率 p?50C100 。
6. 随机地将15名新生平均分配到三个班中，这15名新生有3名优秀生.求（1）每个班各分一名优秀生的概率p（2）3名优秀生在同一个班的概率q。
解 基本事件总数有
15！种 5！ 5！ 5！(1) 每个班各分一名优秀生有3! 种, 对每一分法,12名非优秀生平均分配到三个班中分3！ 12！12！3！ 12！！ 4！ 4！?25. 法总数为种, 所以共有种分法. 所以 p =415！914！ 4！ 4！4！ 4！ 4！5！ 5！ 5！ (2)3名优秀生分配到同一个班, 分法有3种, 对每一分法,12名非优秀生分配到三个班中3?12！3?12！12！！ 5！ 5！?6。 分法总数为, 共有种, 所以 q =215！912！ 5！ 5！2！ 5！ 5！5！ 5！ 5！7. 随机的向半圆0?y?2ax?x2（a为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域面积成正比，求原点和该点连线与X轴的夹角小于
1解 这是几何概型, 样本空间占有面积为? a2,
2?的概率。 411所求事件占有面积为? a2?a2
4211? a2?a2112??。 所以, 所求概率p?412?? a228. 设点(p,q)随机地落在平面区域D: |p|≤1, |q|≤1上, 试求一元二次方程
x2?px?q?0两个根 (1) 都是实数的概率, (2) 都是正数的概率。
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解 (1) 方程两根都是实数?p2?4q?0, 即 q?12p,4
12(p?1)dp??1413 方程两根都是实数的概率??.4241(2) 方程两根都是正数?p2?4q?0, p?0, q?0,012??14pdp1
方程两根都是正数的概率??.448
§1.4 条件概率
三、计算下列各题
1．某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品在有75件一等品，试求在该产品任取一件的是一等品的概率。
解 令A?“任取一件是合格，品B”?“任取一件是一等 品 P(AB)?P(A)P(B|A)?(1?0.04)?0.75?0.72。
2. 设某种动物由出生而活到20岁的概率为 0.8，活到25岁的概率为0.4，求年龄为20 岁的这种动物活到25岁的概率。
“该动物活到20岁”，B?“该动物活到25岁” 解 设A?
P(B|A)?P(AB)0.4??0.5。 P(A)0.83. 在100个次品中有10 个次品 ，每次从任取一个（不放回），求直到第4次才取到正品的概率。
解 Ai=“第i次取到正品” i =1，2，3，4.
P(A1A2A3A4)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)
4. 比赛规定5局比赛中先胜3局为胜，设甲、乙两人在每局中获胜的概率分别为0.6和0.4，若比赛进行了两局，甲以2︰0领先，求最终甲为胜利者的概率。
解 设 B=“最终甲胜”，Ai=“第i局甲胜”
?109890????0.00069100999897 54
P(B|A1A2)?
?P(BA1A2)P(A1A2A3)?P(A1A2A3A4)?P(A1A2A3A4A5)?P(A1A2)P(A1)P(A2)33320.6?0.6?0.4?0.6?0.4?0.9360.62
四、证明题
1. 若P(A)?0,P(B)?0，且P(A|B)?P(A)证明P(B|A)?P(B)。 证 因为 P(A|B)?P(A), 则 所以 P(B|A)?P(AB)?P(A)?P(AB)?P(A)P(B) P(B)P(AB)P(A)P(B)??P(B) 。 P(A)P(A)2. 证明事件A与B互不相容，且0 1?P（B）P(AB)P(A)?。 1?P(B)P(B) §1.5 全概率公式和贝叶斯公式 三、 计算下列各题 1. 三个箱子, 第一个箱子里有4个黑球1个白球, 第二个箱子里有3个黑球3个白球, 第三个箱子里有3个黑球5个白球, 求（1）随机地取一个箱子，再从这个箱子取出一球为白球的概率; （2）已知取出的一个球为白球, 此球属于第二个箱子的概率。 解 Ai =“在第i箱取球” i=1，2，3，B=“取出一球为白球” 11131553(1)P(B)??P(Ai)P(B|Ai)??????? 353638120i?1311?P(A2)P(B|A2)3220(2)P(A2|B)??? 53P(B)531202. 设一仓库中有10箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱、3箱、2箱，三厂产品的废品率依次为0.1、0.2、0.3，从这10箱中任取一箱，再从这箱中任取一件产品，求取得正品的概率。 解 设A=｛取得的产品为正品｝， Bi,i?1,2,3分别为甲、乙、丙三厂的产品 55