课题 8.3实际问题与二元一次方程组
享受思考·寻求切入点 生活中的许多问题可以用二元一次方程组来解决,这就要求我们能够结合实际情况,列出合适在的二元一次方程组,从而顺利地解决问题.
笑话集《笑笑录》中记载的一首诗，“巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧。三百六十四只碗，看看用尽不差争。三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹。请问先生明算者，算来寺内几多僧。”
通过建立二元一次方程组模型（也可建立一元一次方程），可以算出，寺内共有和尚624名。 设盛饭用碗x个，盛羹用碗y个.则
???x+y=364 3x=4y ?x?208,?y?156.解得：?
所以寺内有僧3x=624(人)。 答：寺庙里的僧数为624人。
走进教材·明确目标点 1、通过探究关于二元一次方程组解应用题，体会二元一次方程组是刻画含有两个未知数的数学模型。是把“未知”转化为“已知”的重要方法.它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系，合理设两个未知数，列出二元一次方程组求解． 列方程组解应用题的基本方法有： （1）寻找等量关系的方法有：①画出示意图分析；②列表分析；③信息的分类处理等等． （2）一般来说，直接或间接的设两个未知数，通过含未知量的两个独立的等量关系，列出两个方程并组成方程组． 中考命题趋势 1. 行程问题、工程问题在近几年的中考考查中，一般以填空或选择题出现据多，多是考查建立二元一次方程组模型。 2. 调配问题或方案设计是近几年中考数学命题的重点方向，这两方面与生活实际联系密切，常以解答题、探究题的形式考查学生处理信息、灵活解 2、列二元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）审题：设实际问题中最关联的两个未知量，一般是直接设问题中要解决的未知量，但是有时间接设未知量更易解决问题. （2）列方程组：据题意建立二元一次方程组模型. （3）解：用代入或加减消元解二元一次方程组得解. （4）检验：求得问题的解必须使实际问题有意义． （5）答：写出问题的最后答案. 3、列二元一次方程组常出现的考点： （1）工程、行程问题：路程=速度×时间 答能力和科学探究能力。也往往与一元一次不等式或不等式组组合出现，或与考查二次函数最值部分中组合考查。 工作量=工作效率×工作时间 （2）和差倍分问题. （3）调配问题及方案设计选择等． 总结：行程问题和工程问题，工作量相当于行程问典例透析·突破思维点 考点一：行程问题或工程问题 例1 （山东烟台中考）小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路.假设他始终保持平路每分钟走60米，下坡路每分钟走80米 ，题可以看作一类数学问上坡路每分钟走40米，从家里到学校需10分钟，从学校到家里需15分钟.请问小华家离学校多远？ 思路点拨：设出平路和坡路的路程，从家里到学校走平路和下题中的路程，工作效率相当于行程问题中的速度，工作时间即相当于运动时间。可以在学习中体会 坡路一共用10分钟，从学校到家里走上坡路和平路一共用15分钟，它们的异同。 利用这两个关系式列出方程组解答即可． 解：设平路有x米，坡路有y米，根据题意列方程得 y?x??10,??6080??x?y?15.??6040 解这个方程组，得 ?x?300, 所以x＋y＝700. ?y?400.?答：小华家离学校700米. 例2 （ 2014?安徽省）2013年某企业按餐厨垃圾处理费25元/吨、 建筑垃圾处理费16元/吨的收费标准，共支付餐厨和建筑垃圾处理费5200元．从2014年元月起，收费标准上调为：餐厨垃圾处理费100元/吨，建筑垃圾处理费30元/吨．若该企业2014年处理的这两种垃圾数量与2013年相比没有变化，就要多支付垃圾处理费8800元．该企业2013年处理的餐厨垃圾和建筑垃圾各多少吨？ 思路点拨：设该企业2013年处理的餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨， 根据等量关系式：餐厨垃圾处理费25元/吨×餐厨垃圾吨数+建筑垃圾处理费16元/吨×建筑垃圾吨数=总费用，列出方程组即可． 解：设该企业2013年处理的餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨，根 据题意，得
，
解得
．
设个位上的数学为a，十位上的数学为b，则这两位数表示为10b+a
答：该企业2013年处理的餐厨垃圾80吨，建筑垃圾200吨 活学活用：1.（2014?攀枝花）为了打造区域中心城市，实现攀枝花跨越式发展，我市花城新区建设正按投资计划有序推进．花城新区建设工程部，因道路建设需要开挖土石方，计划每小时挖掘土石方540m3，现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，甲型挖掘机每小时挖掘土石60m3 ，乙型挖掘机每小时挖掘土石80m3，若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台？ 2.（山东省威海市中考）为了参加2011年威海国际铁人三项（游泳，自行车，长跑）系列赛业余组的比赛，李明针对自行车和长跑项目进行专项训练．某次训练中，李明骑自行车的平均速度为每分钟600米，跑步的平均速度为每分钟200米，自行车路段和长跑路段共5千米，用时15分钟．求自行车路段和长跑路段的长度． 考点二.：和差倍分问题
例3. （2014?泰州）今年“五一”小长假期间，某市外来与外出旅游的总人数为226万人，分别比去年同期增长30%和20%，去年同期外来旅游比外出旅游的人数多20万人．求该市今年外来和外出旅游的人数．
思路点拨：设该市去年外来人数为x万人，外出旅游的人数为y万人，根据总人数为226万人，去年同期外来旅游比外出旅游的人数多20万人，列方程组求解.
解：设该市去年外来人数为x万人，外出旅游的人数为y万人， 由题意得，
，
解得：，
则今年外来人数为：100×（1+30%）=130（万人） 今年外出旅游人数为：80×（1+20%）=96（万人）．
答：该市今年外来人数为130万人，外出旅游的人数为96万人. 活学活用：3.（宁夏中考）一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位数字为x，十位数字为y，所列方程组正确的是（ ）
?x?y?8?xy?18?yx A、 ??x?y?8?x?10y?18?10x?y B、? ?x?y?8?x?y?8??10x?y?18?yx10(x?y)?yx C、 ? D、? 中考中二元一次方程组应用考查常常是课本练习习题中的题目的改编题. 本例为直接设元，对表格提供的信息进行分析、判断，综合信息，建立二元一次方程组模型。中考中图表信息题目近几年出现的频率较大。 4.（台湾）在早餐店里，王伯伯买5颗馒头，3颗包子，老板少拿2元，只要50元．李太太买了11颗馒头，5颗包子，老板以售价的九折优待，只要90元．若馒头每颗x元，包子每颗y元，则下列哪一个二元一次联立方程式可表示题目中的数量关系（ ） ?5x?3y?50?2?11x?5y?90?0.9 A、??5x?3y?50-2?11x?5y?90?0.9 C、??5x?3y?50?2?11x?5y?90?0.9 B、??5x?3y?50-2?11x?5y?90?0.9 D、? 考点三：调配及方案设计选择问题： 例4. 聪聪暑期在一家商场参加社会实践活动，商场老板想要购进A、B两种新型节能台灯共50盏，只给了聪聪2500元进货款和一份价目表，这两种台灯的进价、标价如下表所示． 类型 A型 价格 进价（元/盏） 标价（元/盏） 40 60 65 100 B型 (1)同学们，你知道聪聪购买了这两种台灯各多少盏吗? (2)在每种台灯销售利润不变的情况下，若老板要求：计划销售这批台灯的总利润达到1405元，问至少需购进B型台灯多少盏? 思路点拨：(1)两种灯的总数为50，两种灯的进货款总和为2500元，列出二元一次方程组，求出两种灯的数量．（2）再通过设B型灯的数量为未知数，根据两种灯的总利润达到1405元列方程，即可求出B型灯的数量． 解：(1)设A型台灯购进x盏，B型台灯购进y盏． ?x?y?50?x?30??40x?65y?2500y?20． 根据题意，得?，解得：? (2)设购进B型台灯m盏，根据题意，得35m+20(50-m)＝1405， 解得m＝27． 答：(1)A型台灯购进30盏，B型台灯购进20盏；(2)要使销售