A.所有的直角三角形 B.所有的等腰三角形

C.所有的等腰直角三角形 D.所有的一边和这边上的高相等的三角形

解析：根据相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要满足三个角对应相等，三条对应边的比相等.而A中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知；B中什么条件都不满足；D中只有一条对应边的比相等；C中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形，且对应边的比也相等.答案选C.

类型二、相似三角形的判定

2．如图所示，已知

中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出图中各

对相似三角形，并求出相应的相似比.

思路点拨：由

可知AB∥CD，AD∥BC，再根据平行线找相似三角形.

解：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB∥CD，AD∥BC，

∴ △BEF∽△CDF，△BEF∽△AED. ∴ △BEF∽△CDF∽△AED.

∴ 当△BEF∽△CDF时，相似比；当△BEF∽△AED时，相似比；

当△CDF∽△AED时，相似比.

总结升华：本题中△BEF、△CDF、△AED都相似，共构成三对相似三角形.求相似比不仅要找准对应边，还需注意两个三角形的先后次序，若次序颠倒，则相似比成为原来的倒数.

3．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6.在Rt△EDF中，∠F=90°，DF=3，EF=4，则△ABC和△EDF相似吗？为什么？

思路点拨：已知△ABC和△EDF都是直角三角形，且已知两边长，所以可利用勾股定理分别求出第三边AC和DE，再看三边是否对应成比例.

解：在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，∠C=90°. 由勾股定理得

在Rt△DEF中，DF=3，EF=4，∠F=90°. 由勾股定理，得

. .

在△ABC和△EDF中，，，，

∴ ，

∴ △ABC∽△EDF(三边对应成比例，两三角形相似). 总结升华：

(1)本题易错为只看3，6，4，10四条线段不成比例就判定两三角形不相似.利用三边判定两三角形相 似，应看三角形的三边是否对应成比例，而不是两边.

(2)本题也可以只求出AC的长，利用两组对应边的比相等，且夹角相等，判定两三角形相似.

4．如图所示，点D在△ABC的边AB上，满足怎样的条件时，△ACD与△ABC相似？试分别加以列举.

思路点拨：此题属于探索问题，由相似三角形的识别方法可知，△ACD与△ABC已有公共角∠A，要使此两个三角形相似，可根据相似三角形的识别方法寻找一个条件即可. 解：当满足以下三个条件之一时，△ACD∽△ABC. 条件一：∠1=∠B. 条件二：∠2=∠ACB.

条件三：，即.

总结升华：本题的探索钥匙是相似三角形的识别方法.在探索两个三角形相似时，用分析法，可先假设△ACD

∽△ABC，然后寻找两个三角形中边的关系或角的关系即可.本题易错为出现条件四：条件“最小化”原则，因为条件三能使问题成立，所以出现条件四是错误的.

.不符合

举一反三

【变式1】已知：如图正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点． 求证：△ADQ∽△QCP．

思路点拨：因△ADQ与△QCP是直角三角形，虽有相等的直角，但不知AQ与PQ是否垂直，所以不能用两个角对应相等判定．而四边形ABCD是正方形，Q是CD中点，而BP=3PC，所以可用对应边成比例夹角相等的方法来判定．具体证明过程如下：

证明：在正方形ABCD中，∵Q是CD的中点，∴=2

∵=3，∴=4

又∵BC=2DQ，∴=2

在△ADQ和△QCP中， ∴△ADQ∽△QCP．

【变式2】如图，弦

和弦

=，∠C=∠D=90°，

相交于内一点，求证：.

思路点拨：题目中求证的是等积式，我们可以转化为比例式，从而找到应证哪两个三角形相似.同时圆当中同弧或等弧所对的圆周角相等要会灵活应用. 证明：连接 在 ∴

∽

，

.

∴.

【变式3】已知：如图，AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点． 求证：△DFE∽△ABC．

思路点拨：EF为△ABC的中位线，EF=BC，又DE和DF都是直角三角形斜边上的中线，DE=AB，

DF=AC．因此考虑用三边对应成比例的两个三角形相似．

证明：在Rt△ABD中，DE为斜边AB上的中线，

∴ DE=AB，

即 =．

同理 =．

∵ EF为△ABC的中位线，

∴ EF=BC，

即 =．

∴ ==．

∴ △DFE∽△ABC．

总结升华：本题证明方法较多，可先证∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EAD+∠FAD=∠BAC，再证夹这个角的两

边成比例，即

=，也可证明∠FED=∠EDB=∠B，同理∠EFD=∠FDC=∠C，都可以证出△DEF∽△ABC．

类型三、相似三角形的性质

5．△ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由.

思路点拨：因没有说明长4cm的线段是△DEF的最大边或最小边，因此需分三种情况进行讨论. 解：设另两边长是xcm，ycm，且x

(1)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长5cm线段是对应边时，有，

从而x=cm，y=cm.

(2)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长6cm线段是对应边时，有，

从而x=cm，y=cm.

(3)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长7cm线段是对应边时，有，

从而x=cm，y=cm.

综上所述，△DEF的另外两边的长度应是cm,cm或cm，cm或cm，cm三种可能.

总结升华：一定要深刻理解“对应”，若题中没有给出图形，要特别注意是否有图形的分类.

6．如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.

思路点拨：利用已知条件及相似三角形的判定方法及性质求出矩形的长和宽，从而求出矩形的面积. 解：∵ 四边形EFGH是矩形，∴ EH∥BC， ∴ △AEH∽△ABC.