第1讲 平行与垂直
【课前热身】
第1讲 平行与垂直
(本讲对应学生用书第11~14页)
1.(必修2 P41练习1改编)给出下列四个命题： ①平行于同一条直线的两个平面平行； ②垂直于同一条直线的两个平面垂直； ③平行于同一平面的两个平面平行； ④垂直于同一平面的两个平面垂直. 其中正确的命题是 .(填序号) 【答案】③
【解析】①中两个平面可以相交；②中两个平面平行；④中两个平面的位置关系不确定.
2.(必修2 P37练习3改编)若直线a与平面α不垂直，则在平面α内与直线a垂直的直线条数为 . 【答案】无数条
【解析】因为直线a与平面α不垂直，则直线a在平面α内的射影必为一条直线，与射影垂直的直线必定会与直线a垂直，故有无数条.
3.(必修2 P41-42练习13改编)如图(1)，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MN∥平面PAD.
(第3题(1))
【解答】如图(2)，取PD的中点Q，连接NQ，QA，则在△PDC中，QN∥DC，
(第3题(2))
1且QN=2DC.
又因为底面ABCD是矩形，故ABDC.
1因为AM=2AB，所以QN∥AM，且QN=AM，
则四边形AMNQ为平行四边形，即有MN∥QA. 又QA?平面PAD，MN?平面PAD， 所以MN∥平面PAD.
4.(必修2 P50练习9改编)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面AB1C与平面BDD1B1有何位置关系?对你给出的结论加以证明.
(第4题)
【解答】平面AB1C与平面BDD1B1垂直，证明如下：
在正方体A1B1C1D1-ABCD中，因为BB1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以BB1⊥AC.
在正方形ABCD内，AC⊥BD.
又因为BB1∩BD=B，BB1，BD?平面BDD1B1，所以AC⊥平面BDD1B1. 又因为AC?平面AB1C， 所以平面AB1C⊥平面BDD1B1.
【课堂导学】
线面基本关系的判定
例1 (2016·南京三模)已知α，β是两个不重合的平面，l，m是两条不同的直
线，l⊥α，m?β.给出下列命题：
①α∥β?l⊥m； ②α⊥β?l∥m； ③m∥α?l⊥β； ④l⊥β?m∥α. 其中正确的命题是 .(填序号) 【答案】①④
【解析】①由l⊥α，α∥β，得l⊥β，又因为m?β，所以l⊥m；
②由l⊥α，α⊥β，得l∥β或l?β，又因为m?β，所以l与m或异面或平行或相交； ③由l⊥α，m∥α，得l⊥m，因为l只垂直于β内的一条直线m，所以不能确定l是否垂直于β；
④由l⊥α，l⊥β，得α∥β，因为m?β，所以m∥α.
变式 (2016·镇江期末)设b，c表示两条不同的直线，α，β表示两个不重合的平面，现给出下列命题：
①若b?α，c∥α，则b∥c； ②若b?α，b∥c，则c∥α； ③若c∥α，α⊥β，则c⊥β； ④若c∥α，c⊥β，则α⊥β. 其中正确的命题是 .(填序号) 【答案】④
【解析】①b和c可能异面，故①错；②可能c?α，故②错；③可能c∥β，c?β，c与β斜交，故③错；④根据面面垂直判定α⊥β，故④正确.
平行与垂直的证明
例2 (2016·南京学情调研)如图(1)，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行
四边形，E为侧棱PA的中点.
(1)求证：PC∥平面BDE；
(2)若PC⊥PA，PD=AD，求证：平面BDE⊥平面PAB.
(例2(1))
【解答】(1)如图(2)，连接AC交BD于点O，连接OE.
(例2(2))