则随机变量X的数学期望E(X)= ,方差D(X)= .

课堂考点探究

探究点一 离散型随机变量的均值

1 某大学为调研学生在A,B两家餐厅用餐的满意度,从在A,B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人,每人分别对这两家餐厅进行评分,满分均为60分.整理评分数据,将分数分成6组:[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60].得到A餐厅分数的频率分布直方图(如图9-62-1)和B餐厅分数的频数分布表.

图9-62-1

B餐厅分数的频数分布表

分数区间 [0,10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60] 定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下表:

分数 [30,50[0,30) ) [50,60] 频数 2 3 5 15 40 35

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满意度指数 0 1 2 (1)在抽取的100人中,求对A餐厅评价“满意度指数”为0的人数.

(2)从该校在A,B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查,试估计其对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”高的概率. (3)如果从A,B两家餐厅中选择一家用餐,你会选择哪一家?并说明理由.

[总结反思] 求离散型随机变量均值的步骤: (1)理解随机变量X的意义,写出X可能取得的全部值; (2)求X取每个值的概率; (3)写出X的分布列; (4)由均值定义求出E(X).

式题 [2017·湖南长郡中学一模] 交强险是车主必须为机动车购买的险种.若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为a元,在下一年续保时,实行的是费率浮动机制,保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系,发生交通事故的次数越多,费率也就越高,具体浮动情况如下表:

交强险浮动因素和浮动费率比率表

浮动因素 上一个年度未发生有责任道路交通事故 上两个年度未发生有责任道路交通事故 上三个及三个以上年度未发生有责任道路交通事故 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 浮动比率 下浮10% A1 A2 A3 A4 A5 下浮20% 下浮30% 0% 上浮10% 上浮30% 42

A6 上一个年度发生有责任道路交通死

亡事故 某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况,随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车在下一年续保时的情况,统计得到了下面的表格:

类型 A1 数量 10

以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替1辆车投保类型的概率,完成下列问题: (1)按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定,a=950,记X为某同学家里的1辆该品牌车在第四年续保时的费用,求X的分布列与数学期望.(数学期望值保留到个位数字)

(2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车,且将下一年交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车,假设购进1辆事故车亏损5000元,购进1辆非事故车盈利10 000元.

A2 A3 A4 A5 A6 5 5 20 15 5 ①若该销售商购进3辆(车龄已满三年)该品牌二手车,求这3辆车中至多有1辆事故车的概

率;

②若该销售商一次购进100辆(车龄已满三年)该品牌二手车,求他获得利润的数学期望.

探究点二 离散型随机变量的方差

2 [2017·北京西城区一模] 在测试中,客观题难度的计算公式为Pi=,其中Pi为第i题的难度,Ri为答对该题的人数,N为参加测试的总人数.现对某校高三年级240名学生进行一次测试,共5道客观题.测试前根据对学生的了解,预估了每道题的难度,如下表所示:

题号 1 2 3 4 5 考前预估难度0.9 0.8 0.7 0.6 0.4 Pi

测试后,从中随机抽取了20名学生的答题数据进行统计,结果如下表:

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题号 1 2 16 3 14 4 14 5 4 实测答对人16 数

(1)根据题中数据,估计240名学生中第5题的实测答对人数;

(2)从抽取的20名学生中随机抽取2名,记这2名学生中第5题答对的人数为X,求X的分布列和数学期望;

(3)试题的预估难度和实测难度之间会有偏差,设P'i为第i题的实测难度,请用Pi和P'i设计一个统计量,并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理.

[总结反思] (1)D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度,D(X)越大,表明平均偏离程度越大,说明X的取值越分散;反之,D(X)越小,说明X的取值越集中在E(X)附近.统计中常用

来描述X的分散程度.

(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量偏离均值的程度,它们从整体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据,一般先比较均值,若均值相同,再由方差来决定.

式题 [2017·石家庄二中三模] 在—次实验中,同时抛掷4枚质地均匀的硬币16次,设4枚硬币中正好出现3枚正面向上,1枚反面向上的次数为ξ,则ξ的方差是 ( ) A.3 B.4

C.1 D.

探究点三 正态分布

3 [2017·南宁二模] 某食品店为了了解气温对销售量的影响,随机记录了该店1月份中5天的日销售量Y(单位:千克)与该地当日最低气温X(单位:℃)的数据,如下表:

X Y 2 12 5 10 8 8 9 8 11 7

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