1.排列与组合的概念 名称 排列 从n个不同元素中取出组合 m(m≤n)个元素 2.排列数与组合数 名称 定义 计算公式 性质 联系 定义 按照 排成一列 排列有序,组合无序 合成一组 区别 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的= 所有 的个排(1)=n!; 数,叫作从n个不同列元素中取出m个元素= 数 (2)0!=1 的排列数.用符号“”表示 (n,m∈N,且m≤n) *=从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的(1)==1; = 所有 的个组数,叫作从n个不同合(2)=; 元素中取出m个元素数 =(n,m∈的组合数.用符号*N,且m≤n) (3)=+“”表示
题组一 常识题
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1.[教材改编] 世界华商大会的某分会场有A,B,C三个展台,将甲、乙、丙、丁4名“双语”志愿者选派3名分别到这三个不同的展台担任翻译工作,则不同的选派方法有 种.
2.[教材改编] 甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则不同的选法共有 种. 3.[教材改编] 某数学教研组准备从甲、乙等7名教师中选派4名教师发言,如果要求甲、乙两人至少有一人发言,那么不同的选派方法有 种. 题组二 常错题
◆索引:分类讨论中分类标准不清楚导致重复计数;不能灵活使用间接法.
4.从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装计算机和组装计算机各2台,则不同的取法有 种.
5.有大小和形状完全相同的3个红色小球和5个白色小球,将它们排成一排,共有 种不同的排列方法.
6.现有6个人排成一排照相,其中甲、乙、丙3人不同时相邻的排法有 种.
课堂考点探究
探究点一 排列问题
1 (1)[2017·江西重点中学盟校联考] 将A,B,C,D,E这5名同学从左至右排成一排,则A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学的排法有 ( ) A.18种 B.20种 C.21种 D.22种
(2) 四位男演员与五位女演员排成一排拍照,其中四位男演员互不相邻,且女演员甲不站两端的排法种数为 ( ) A.-2
B.-
C.-2D.-
[总结反思] (1)对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法和元素分析法.在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法.
(2)有限制条件的排列问题的常用方法:相邻问题采用捆绑法,不相邻问题采用插空法.
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式题 (1)5名学生进行知识竞赛.笔试结束后,甲、乙两名参赛者去询问成绩,回答者对甲说:“你们5人的成绩互不相同,很遗憾,你的成绩不是最好的”;对乙说:“你不是最后一名”.根据以上信息,这5人的笔试名次的所有可能的种数是 ( ) A.54 C.78
B.72 D.96
(2)现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人,每人1张,且甲、乙分得的电影票连号,则共有不同分法的种数为 ( ) A.12 C.36
B.24 D.48
探究点二 组合问题
2 (1)[2017·辽宁实验中学模拟] 篮球比赛中每支球队的出场阵容由5名队员组成,2017年的NBA篮球赛中,休斯顿火箭队采取了“八人轮换”的阵容,即每场比赛只有8名队员有机会出场,这8名队员中包含2名中锋,2名控球后卫.若要求每一套出场阵容中有且仅有1名中锋,至少包含1名控球后卫,则休斯顿火箭队的主教练出场阵容的选择方案共有 ( ) A.16种 B.28种 C.84种 D.96种
(2)现有12张不同颜色的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各3张,现从中任取3张,要求3张卡片不能全是同种颜色,且蓝色卡片至多1张,则不同的取法种数是 ( ) A.135 B.172 C.189 D.162
[总结反思] 解决组合问题中两类题型的方法:
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中选取.
(2)对于“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型,若直接分类复杂,则间接求解. 式题 (1)[2017·银川二模] 某地实行高考改革,考生除参加语文、数学、外语统一考试外,还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科,要求物理、化学、生物三科至少选一科,政治、历史、地理三科至少选一科,则可供考生选择的选考方法种数为( ) A.6 B.12 C.18
D.24
(2)[2017·郴州质检] 把3名男生2名女生共5名新生分配到甲、乙两个班,每个班分配的新生不少于2名,且甲班至少分配1名女生,则不同的分配方案种数为 .(用数字作答)
探究点三 分组分配问题
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考向1 整体均分问题
3 数学活动小组由12名同学组成,现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题,且每组只研究一个课题,并要求每组选出1名组长,则不同的分配方案有 ( )
A.种 B.3种
4
C.4种
3
D.4种
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[总结反思] (1)平均分配给不同小组的分法种数等于平均分堆的分法种数乘堆数的全排列.
(2)对于分堆与分配问题应注意三点:①处理分配问题要注意先分堆再分配;②被分配的元素是不同的;③分堆时要注意是否均匀. 考向2 部分均分问题
4 为防止部分学生考试时用搜题软件作弊,命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这三种题型进行改编,则每种题型至少指派1名教师的不同分派方法种数为( ) A.150 B.180 C.200 D.280
[总结反思] 对于部分均分问题,解题时要注意重复的次数是均匀分组的阶乘数,即若有m组元素个数相等,则分组时应除以m!. 考向3 不等分问题
5 A,B,C,D,E,F六人围坐在一张圆桌上开会,A是会议的中心发言人,必须坐最北面的椅子,B,C二人必须坐相邻的两把椅子,其余三人坐剩余的三把椅子,则不同的坐法有 ( ) A.24种 B.30种 C.48种 D.60种
[总结反思] 对于不等分问题,首先要对分配数量的可能情形进行一一列举,然后再对每一种情形分类考虑.在每一类的计数中,又要考虑是分步计数还是分类计数,是排列问题还是组合问题. 强化演练
1.【考向1】[2017·汕头模拟] 现有编号为A,B,C,D的四本书,将这四本书平均分给甲、乙两位同学,则A,B两本书不被同一位同学分到的概率为 ( )
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