[总结反思] 古典概型与平面向量交汇问题的处理方法: (1)根据平面向量的知识进行坐标运算,得出事件满足的约束条件; (2)根据约束条件(等式或不等式)列举出所有符合条件的结果; (3)利用古典概型的概率计算公式求解概率. 考向2 古典概型与直线、圆相结合 5 已知实数a,b∈{-2,-1,1,2}. (1)求直线y=ax+b不经过第四象限的概率; (2)求直线y=ax+b与圆x+y=1有公共点的概率.

2

2

[总结反思] 古典概型与直线、圆相结合问题的处理方法: (1)根据平面几何中直线与圆的相关知识,求出事件满足的约束条件; (2)根据约束条件(等式或不等式)列举所有符合条件的结果; (3)利用古典概型的概率计算公式求解概率. 考向3 古典概型与函数结合 6 已知关于x的二次函数f=ax2-bx+1,设集合P=.

,Q=,分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数对

(1)列举出所有的数对,并求函数y=f有零点的概率;

(2)求函数y=f在区间上是增函数的概率.

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[总结反思] 古典概型与函数交汇问题的处理方法: (1)根据函数的相关性质,确定相关系数应满足的条件;

(2)根据系数满足的条件进行分类考虑,求出所有符合条件的基本事件个数; (3)利用古典概型的概率计算公式求解概率. 强化演练

1.【考向3】[2017·黄山二模] 已知函数f(x)=ax+bx+1,其中a∈{2,4},b∈{1,3},则f(x)在(-∞,-1]上是减函数的概率为 ( )

2

A. B. C. D.0

2.【考向2】以连续抛掷两次骰子分别得到的点数m,n作为点P的坐标(m,n),则点P在直线x+y=7上的概率为 .

3.【考向1】[2017·赣州二模] 连掷两次骰子得到的点数分别为m和n,记向量a=(m,n)与向量b=(1,-1)的夹角为θ,则θ为锐角的概率是 .

4.【考向3】设集合P={1,2,3},Q={-1,1,2,3,4},分别从集合P和Q中随机取一个数作为a2

和b组成数对(a,b),并构成函数f(x)=ax-4bx+1.

(1)写出所有可能的数对(a,b),并计算a≥2且b≤3的概率; (2)求函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率.

第59讲 几何概型

课前双击巩固

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1.几何概型

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型. 2.几何概型的概率公式

P(A)= .

题组一 常识题

1.[教材改编] 如图9-59-1,A,B,C,D,E,F是圆O的六个等分点,则转盘指针不落在阴影部分的概率为 .

图9-59-1

2.[教材改编] 已知一个路口的信号灯,绿灯亮40秒后,黄灯亮若干秒,然后红灯亮30秒,如

果一辆车到达路口时,遇到红灯的概率为,那么黄灯亮的时间为 秒.

3.[教材改编] 一位同学家里订了一份报纸,送报人每天都在早上5:20~6:40之间将报纸送到,该同学的爸爸需要在早上6:00~7:00之间出发去上班,则这位同学的爸爸在离开家前能拿到报纸的概率是 . 题组二 常错题

◆索引:选用的几何测度不准确导致出错.

4.设x是一个锐角,则sin x>的概率为 .

5.如图9-59-2,A是圆上固定的一点,在圆上其他位置任取一点A',连接AA',它是一条弦,它的长度小于或等于半径长的概率为 .

图9-59-2

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6.在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,如果在该矩形内随机找一点P,那么使得△ABP与△CDP的面积都不小于1的概率为 .

7.已知函数f(x)=log2x,x∈[1,8],则不等式1≤f(x)≤2成立的概率是 .

课堂考点探究

探究点一 随机模拟方法

1 [2016·全国卷Ⅱ] 从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 ( )

A. B.

C. D.

[总结反思] 对于应用几何概型模拟求解面积的问题,先构造出随机事件A对应的几何图形,再利用概率等于面积的比值构建方程求解.

式题 已知正六边形ABCDEF内接于圆O,连接AD,BE,现在往圆O内投掷2000粒小米,则可

以估计落在阴影区域内的小米的粒数大约是参考数据:A.550 B.600 C.650 D.700

≈1.82,≈0.55 ( )

图9-59-3

探究点二 与长度﹑角度有关的几何概型

2 在区间[-1,1]上随机取一个数k,使直线y=k(x+3)与圆x+y=1有两个交点的概率为( )

2

2

A. B.

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