服从的分布为F(n1,n2)分布，(n1,n2)为自由度.

(2)F(n1,n2)分布的两条性质：

(a)若W~F(n1,n2)，则(b)F1??(n1,n2)?1~F(n2,n1)； W1.

F?(n2,n1)二、抽样定理

1、单个正态总体的抽样定理

设总体X~N(?,?2),X1,X2,S2为样本方差。则有

,Xn为简单随机样本，X为样本均值，

(1)X~N(?,?2n)?X??~N(0,1)； ?n（2）X??~t(n?1) Snn2?X???2(3)??i?~?(n)； ??i?1?(4)

(n?1)S2?X?X????i??i?1??n2?2?2(n?1)；

(5)X与S2相互独立. 2、两个正态总体的抽样定理 总体X~N(?1?,2，)样本X1,X2,,Xn1，总体Y~N(?2?,2，)样本

Y1,Y2,,Yn2，且两个总体相互独立，则

112?)?)； n1n2（1）X?Y~N(?1??2,(S12（2）2~F(n1?1,n2?1)

S2 49

重点题型归纳

题型1 求统计量的数字特征

【例1】设X~N(?,?2)，样本X1,X2,解

(n?1)S2,Xn，则D(S2)?

2?2?(n?1)?D[22(n?1)S2?22?4]?2(n?1)?D(S)?

n?1【例2】设X~N(?,?)，样本X1,X2,解 E(X1T)?,Xn，令T??(Xi?X)2，求E(X1T)

i?1n?E(XnT)，于是

E(X1T)?E(XT)?(n?1)E(X?S2)?(n?1)E(X)?E(S2)?(n?1)??2 【例3】设X~N(?,?)，样本X1,X2,122?，DT?(1?)?2

n?2?21n,Xn，令T??|Xi??|，求ET,DT。

ni?1答案 ET?【例4】设X~N(?,?12)，Y~N(?,?22)且相互独立，样本均值分别为X,Y，样

2S12S2本方差分别为S,S，令a?2,b?2,求aX?bY的期望。 22S1?S2S1?S221222解 X,Y与S12,S2相互独立，从而a,b与X,Y也独立，且a?b?1，所以

E(aX?bY)?E(a)E(X)?E(b)E(Y)???(E(a)?E(b))???E(a?b)??

【例5】（01年，7分）设X~N(?,?2)），抽取简单随机样本X1，X2，?，X2n（n≥2），

n12n样本均值X?． Xi，Y??(Xi?Xn?i?2X)2求E（Y）?2ni?1i?1分析：本题考查简单随机样本的两个重要性质：样本均值与样本方差都是总体均值与总体方差的无偏估计。这也是历年命题每年都会涉及的知识点。 解 令Zi?Xi?Xn?i,i?1,1n,n,Z??Zi?X，则Zini?1N(2?,2?2)，所以

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