12?z0?z?1?2?23??z?3z?1?z?2答案：fZ(z)?? 2?129z?3z?2?z?3?22?0其它?解 fZ(z)??????fX(x)fY(z?x)dx
?0?x?1?0?x?1?0?x?1?0?x?1注意到? or???or??1?z?x?2?0?z?x?1?z?2?z?1?2?z?1?x?z
分析：fZ(z)??fZ(z)??????????fX(x)fY(z?x)dx
fX(x)fY(z?x)dx?被积函数＝0?＋被积函数?0?＝0+被积函数?0?
因此求解这个积分的时候，实质上是在被积函数的非零区间内做积分即可。 而fX(x)fY(z?x)?0，即为
?fX(x)?0??fY(z?x)?0?0?x?1???1?z?x?2?fX(x)?1??fY(z?x)?2?(z?x)?0?x?1?0?x?1?0?x?1或者???or??0?z?x?1?z?2?x?z?1?z?1?x?z?fX(x)?1??fY(z?x)?z?x??求解这两个不等式组的解集，就可以确定fZ(z)????fX(x)fY(z?x)dx的上下积分
区间。在图上画出0，1点后，依次从左到右分析z?2,z?1,z三个点和0，1之间
?0?x?1的关系，就可以求的不等式组(1)??z?2?x?z?1
or?0?x?1的解 (2)?z?1?x?z?当z?0时，（1）和（2）解都为空集，此时fZ(z)?0；
当0?z?1时，（1）的解为空集，（2）的解为0?x?z，此时
fX(x)?1，fY(z?x)?z?x，于是fZ(z)??
当z?2?0?z?1?1?z，即1?z?2时，
29
????fX(x)fY(z?x)dx??1?(z?x)dx??
0z
（1）的解为0?x?z?1， （2）的解为z?1?x?1， 于是fZ(z)??所以fZ(z)??????fX(x)fY(z?x)dx??1?[2?(z?x)]dx??1?(z?x)dx??
0z?1z?11当0?z?2?1?z?1?z，即 2?z?3时，（1）的解为z?2?x?1（2）解为空集。
????fX(x)fY(z?x)dx??1?[2?(z?x)]dx??
z?21当z?2?1，即z?3时，（1）和（2）解都为空集，fZ(z)?0
此处可将0，1作为车站的进口和出口，z?2,z?1,z看成是依次前行的三辆车，从三车都在车站外，一直到三车全部开出。讨论完后就可以了。 【例7】设随机变量X与Y相互独立，X概率分布为P?X?i???10?y?1概率密度为fY?y???，记Z?X?Y
?0其它1?i??1,0,1?，3（1）求P(Z?1X?0)；（2）求Z的概率密度。 2分析：离散型随机变量与连续型随机变量相结合，这时候组合出来的随机变量可能属于混合型随机变量。在处理这种问题时，要注意灵活运用全概率公式，并且特别注意临界值处的情况。
1P(X?0,Y?)111112?P(Y?)??21dy? 解 (I) P(Z?X?0)?P(X?Y?X?0)?022P(X?0)22(II) FZ(z)?P{Z?z}?P{X?Y?z}
?P{X?Y?z,X??1}?P{X?Y?z,X?0}?P{X?Y?z,X?1} ?P{Y?z?1,X??1}?P{Y?z,X?0}?P{Y?z?1,X?1} ?P{Y?z?1}P{X??1}?P{Y?z}P{X?0}?P{Y?z?1}P{X?1} ?1?P{Y?z?1}?P{Y?z}?P{Y?z?1}? 31??FY(z?1)?FY(z)?FY(z?1)? 3?11?,?1?z?2所以 fZ(z)??fY(z?1)?fY(z)?fY(z?1)???3
3??0,其它 30
【例8】设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N?0,1?，Y的概率
1分布为P?Y?0??P?Y?1??，求随机变量Z?XY的分布函数FZ?z?。
2分析：考察多维数随机变量函数的分布。 解
?z?R,FZ?z??P(XY?z)?P(Y?0)?P(XY?z|Y?0)?P(Y?1)?P(XY?z|Y?1)1?[P(0?z|Y?0)?P(X?z|Y?1)]2?1[0?P(X?z|Y?1)],z?0??2???1[1?P(X?z|Y?1)],z?0??2?1?1P(X?z）,z?0?(z),z?0立性???2?2????1?[1?P(X?z)],z?0?1[1??(z)],z?0 ???2?2
【练习1】设二维随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y)? 求随机变量Z?X?2Y2e?(x?2y) x?0,y?00 其它
的分布函数.
?1?e?z?ze?z,z?0答案：F(z)??
0,z?0?
【练习2】设X~E(1),Y~N(0,1)且独立，对X进行n次独立重复观察，Z表示观察值大于2的次数，求Y?Z的分布函数。
kk答案：F(x)??Cnp(1?p)n?k?(x?k),?x?R
k?0n
【练习3】设X服从几何分布，P(X?k)?pqk?1,k?1,2,立，求U?X?Y,?，Y~N(0,1)且相互独
T?XY的分布函数。
k?1?t答案：FU(u)??pq?(u?k),?u?R； FT(t)??pqk?1?(),?t?R
kk?1k?1
31
【练习4】随机变量X,Y满足P{X?0,Y?0}?3,P{X?0}?P{Y?0}?4,
77则P{max(X,Y)?0}?____
5____ 7【练习5】相互独立的随机变量X~N(0,1),Y~N(1,1)，则P(X?Y?1)? 0.5
【练习6】设随机变量X与Y相互独立，且X~N?0,1?，Y~B(n,p),0?p?1， 求随机变量Z?X?Y的分布函数FZ?z?
?z?R,FZ?z??P(X?Y?z)??P(Y?k)P(X?Y?z|Y?k)k?0kk??Cnp(1?p)n?kP(X?z?k|Y?k)k?0nnn
??Cp(1?p)knkk?0n?kkkP(X?z?k)??Cnp(1?p)n?k?(x?k)k?0n222【练习7】设二维随机变量（X，Y）服从N(?,?,?,?,0)，则E(XY)= 答案：?(?2??2)
题型4 随机变量的独立性
注意：该知识点一般不会单独考察，而是结合其他重要问题一起来考虑。
【 例9 】设随机变量X与Y相互独立,下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布率
及关于X和关于Y的边缘分布率中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处. X Y x1 x2 P(Y?yi)?p?j y1 y2 1 8y3 P(X?xi)?pi? 1 8 1 1 6设随机变量（Ｘ，Ｙ）服从二维正态分布，且Ｘ与Ｙ不相关，fX(x),fy(y)【例10】
分别表示Ｘ，Ｙ的概率密度，则条件概率密度fX|Y(X|Y)?fX(x)
32