分析：多维正态分布的性质，主要包括：线性变换不变性，不相关与独立等价。 注：要特别重视多为正态分布的相关性质！历年考试题中已经多次考到。
【例11】设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则P(X?Y)?（ A ）
(A)15 (B)12 (C)354 (D)
5?e?x?4y,x?0,y?0解 ?X,Y?的联合概率密度为f(x,y)??
?0，其它则P?X?Y??
【例12】设随机变量（X,Y）具有下列概率分布，判断下列随机变量的独立性：
?2xy?x?0?x?1,0?y?2（1）f(x,y)?? 3?其它?0?cxe?y,0?x?y???(2) f(x,y)??；
其它?0,?(1?e?ax)(1?e?by)x?0,y?0（3）（X,Y）的联合分布函数F(x,y)??
其它?0x?y??f(x,y)dxdy??dx?e00??y?x?4y1dx??e?5ydy?
05??第四章 随机变量的数字特征
知识要点精讲 §1 数学期望
离散?连续??一、数学期望：E(X)??xpE(X)??iii?1离散???xf(x)dx
二、随机变量的函数的数学期望
（一维）E(g(X))??g(xi)pi?i?1连续?????g(x)f(x)dx
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（二维）E(g(X,Y))?三、 数学期望的性质
离散??g(xi,yj)pij?ji连续?????g(x,y)f(x,y)dx
1、若C为常数，则E(C)?C；
2、若E(X)存在，a为常数，则E(aX)?aE(X)； 3、若E(X)存在，a,b为常数，则E(aX?b)?aE(X)?b； 4、若E(X),E(Y)存在，则 E(X?Y)?E(X)?X(Y)； 推论：若E(Xi)存在(i?1,2,?n?n,n)，则 E??Xi???E(Xi)
?i?1?i?15、若X,Y相互独立，则 E(XY)?E(X)E(Y) 推论：若X1,X2,,Xn之间相互独立，i?1,2,?n?n,n，则 E??Xi???E(Xi)
?i?1?i?1注 此性质一定需要独立性条件（改为两两不相关也成立）。
§2 方差
一、方差：D(X)?E?X?E(X)??E(X2)?E2(X) 注 E(X2)?D(X)?E2(X)常用来计算E(X2)； 二、方差的性质
1. 若C为常数，则D(C)?0; 2. 若a为常数，则D(aX)?a2D(X); 3. 若b为常数，则D(X?b)?D(X);
4. 若X,Y相互独立，则D(X?Y)?D(X)?D(Y)。
推论：若X1,X2,2?n?n,Xn之间相互独立，则 D??Xi???D(Xi)
?i?1?i?1注 此性质一定要满足独立性的前提。 三、六个重要分布的数学期望与方差
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标准化随机变量：X??X?E(X)?E(X?)?0,D(X?)?1。
D(X)§3 协方差及相关系数
一、协方差：cov(X,Y)=E?X?E(X)??Y?E(Y)??E(XY)?E(X)E(Y) 二、协方差的性质
（1）cov(X,Y)?cov(Y,X)； （2）cov(X,c)?0 （c为任意实数）
（3）若a,b为常数，则cov(aX,bY)?abcov(X,Y)； （4）cov(X1?X2,Y)?cov(X1,Y)?cov(X2,Y)； （5）D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2cov(X,Y)；
（6）若X,Y独立，则cov(X,Y)?0,D(X?Y)?D(X)?D(Y)。
?n?n（7）D??Xi???D(Xi)?2?cov(Xi,Xj)
1?i?j?n?i?1?i?1注意：协方差的性质最关键的是要牢记下面的原则：
cov(aX1?bX2,cX3?dX4)?accov(X1,X3)?adcov(X1,X4)?bccov(X2,X3)?bdcov(X2,X4)
三、相关系数 ?XY?cov(（1）?XY?1；
X?EXY?EYcov(X,Y) ,)?D(X)D(Y)D(X)D(Y)（2）?XY?1 的充要条件是，存在常数a,b使 P?Y?a?bX??1，进一步，
?XY?1?a?0， ?XY??1?a?0；
即?XY刻划了X与Y线性相关程度的大小。?XY越大，表明X与Y之间的线性关系越紧密；反之，?XY越小，表明X与Y之间的线性程度越差。 （3）常用称呼
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??0?正相关?=0?不相关?<0?负相关（4）
?=1?完全正相关
?=-1?完全负相关?XY?0?cov(X,Y)?0?E(XY)?E(X)E(Y)?D(X?Y)?D(X)?D(Y)，
它们是X,Y独立的必要条件，但不是X,Y独立的充分条件。
2特殊情况：若(X,Y)~N(?1,?12;?2,?2;?)，则X,Y不相关与X,Y独立等价。
§4 矩
设X,Y为随机变量，k,l?1,2,,则称
（1）E(Xk)是X的k阶原点矩； （2）E[X?E(X)]k是X的k阶中心矩； （3）E(XkYl)是X和Y的(k?l)阶混合原点矩；
（4）E[X?E(X)]k[Y?E(Y)]l是X和Y的(k?l)阶混合中心矩。
重点题型归纳
题型一 随机变量的期望和方差的求解
期望和方差的求解的方法主要是运用定义、随机变量函数的期望公式、方差的定义和计算公式、期望和方差的性质。 【例1】设随机变量Xij(i,j?1,2,,n;n?2)独立同分布，EXij?2,则行列式
X11X21Y??Xn1
X12X22?Xn2??X1nX2n的数学期望EY? 。
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