（1）求证:平面ABC?平面ACD；
（2）若?CAD?30?，二面角C?AB? D为60o，求异面直线AD与BC所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）3 6【解析】 【分析】
（1）取AC中点F,连接FD,FB，得DF?AC,AB?BC，可得FA?FB?FC， 可证VDFA≌VDFB，可得DF?FB，进而DF?平面ABC，即可证明结论；
（2）设E,G,H分别为边AB,CD,BD的中点，连DE,EF,GF,FH,HG，可得GF//AD，
GH//BC,EF//BC，可得?FGH（或补角）是异面直线AD与BC所成的角，BC?AB，可得
EF?AB，?DEF为二面角C?AB? D的平面角，即?DEF?60o，设AD?a，求解?FGH，即可
得出结论. 【详解】
（1）证明:取AC中点F,连接FD,FB， 由DA?DC,则DF?AC,
QAB?BC，则FA?FB?FC，
故VDFA≌VDFB，?DFB??DFA??2，
QDF?AC,DF?FB,AC?FB?F
∴DF?平面ABC，又DF?平面ACD，
故平面ABC?平面ACD
（2）解法一:设G,H分别为边CD,BD的中点， 则FG//AD,GH//BC，
?FGH（或补角）是异面直线AD与BC所成的角.
设E为边AB的中点，则EF//BC，
由AB?BC,知EF?AB.
又由（1）有DF?平面ABC,?DF?AB，
EFIDF?F,AB?平面DEF,?DE?AB.，
所以?DEF为二面角C?AB?D的平面角，??DEF?60o， 设DA?DC?DB?a,则DF?AD??CAD?a 2在Rt△DEF中，EF?a33??a 236从而GH?13BC?EF?a 26在RtVBDF中，FH?又FG?1aBD?， 221aAD?， 22从而在VFGH中，因FG?FH，
1GH3， 2?cos?FGH??FG6因此，异面直线AD与BC所成角的余弦值为
3.
6
解法二:过点F作FM?AC交AB于点M, 由（1）易知FC,FD,FM两两垂直， 以F为原点，射线FM,FC,FD分别为x轴，
y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系F?xyz.
不妨设AD?2，由CD?AD,?CAD?30?，
易知点A,C,D的坐标分别为A(0,?3,0),C(0,3,0), D?0,0,1?
uuur则AD? (0,3,1)
r显然向量k??0,0,1?是平面ABC的法向量
已知二面角C?AB? D为60?，
uuur设B?m,n,0?，则m?n?3,AB?(m,n?3,0)
22r设平面ABD的法向量为n??x,y,z?，
uuuvv?AD?n?0??3y?z?0vv?? 则?uuumx?n?3y?0?AB?n?0????r?n?3?n??,1,?3y?1令，则???? m??uurrrr|k?n|cos?k,n??rr?kn由
3?n?3?4???m??2?12
由上式整理得9n2?23n?21?0， 解之得n??3(舍)或n?73 9r?4623??4673?uuu?B???9,9,0???CB????9,?9,0??，
????uuuruuurAD?CBuuuruuurcos?AD,CB??uuuruuur?ADCB233? 6232?33. 6因此，异面直线AD与BC所成角的余弦值为
【点睛】
本题考查空间点、线、面位置关系，证明平面与平面垂直，考查空间角，涉及到二面角、异面直线所成的
角，做出空间角对应的平面角是解题的关键，或用空间向量法求角，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.
19．在国家“大众创业，万众创新”战略下，某企业决定加大对某种产品的研发投入.为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格试销，得到一组检测数据如表所示: 试销价格x(元) 产品销量y (件) 4 5 6 7 8 9 89 83 82 79 74 67 已知变量x,y且有线性负相关关系，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得回归直线方程分别为:甲
$y?4x?53； 乙$y??4x?105；丙$y??4.6x?104，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.
（1）试判断谁的计算结果正确？
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则称该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中随机抽取3个，求“理想数据”的个数X的分布列和数学期望. 【答案】（1）乙同学正确 （2）分布列见解析， E?X??【解析】 【分析】
（1）由已知可得甲不正确，求出样本中心点(x,y)代入验证，即可得出结论；
（2）根据（1）中得到的回归方程，求出估值，得到“理想数据”的个数，确定“理想数据”的个数X的可能值，并求出概率，得到分布列，即可求解. 【详解】
（1）已知变量x,y具有线性负相关关系，故甲不正确，
3 2Qx?6.5,y?79，代入两个回归方程，验证乙同学正确，
故回归方程为：$y??4x?105
（2）由（1）得到的回归方程，计算估计数据如下表：
x 4 5 6 82 7 8 74 9 67 69 y $y 89 83 85 79 77 89 81 73 0,1,2,3. “理想数据”有3个，故“理想数据”的个数X的取值为: