1.3.7 在标准状态下给一气球充氢气。此气球的体积可由外界压强的变化而改变。充气完毕时该气球的体积为

，而球皮体积可予忽略。（1）若贮氢的气罐的体积为

，罐中氢气压强为1.25Mpa，且气罐与大气处于热平衡，在充气过程中的温

度变化可以不计，试问要给上述气球充气需这样的贮气罐多少个？（2）若球皮重量为12.8kg，而某一高处的大气温度仍为，试问气球上升到该高度还能悬挂多重物品而不至坠下。 【分析】（1）按照给气体充气前后所充氢气的物质的量不变这一点列出方程。（2）由于此气球的体积可由外界压强的变化而改变，因而气球上升过程中可以自由膨胀，始终维持气球内外压强相等。它所受到的浮力等于排开同体积空气的质量。列出气球的力平衡方程。 【解】（1）设

p0?0.1MPa,V0?566m3, p1?1.25MPa,V1?5.66?10?2m3,

储气罐总共需要n个，则根据等温条件下的理想气体定律，可以得到：

p1(nV1)?p0(V0?nV1)

n?P0V0?870 (P1?P0)V1 （2）气体始终维持气球内外压强相等。它受到的浮力等于推开的同体积空气所受到

p0V0MmAg的重力。 F?

RT0 其中MmA为空气的摩尔质量，设氢气的质量为mH,则有

mH?p0V0MmH

RT0p0V0MmAp0V0MmH?-m皮?RT0RT0设气球的球皮质量为m皮，为不使气球坠下，可挂的重物质量为

m重物

?p0V0(MmA?MmH)?m皮RT0

?660.8kg 1. 3. 10 一端开口，横截面积处处相等的长管中充有压强p的空气。先对管子加热，使它形成从开口端温度1000K均匀变为闭端200K的温度分布，然后把管子开口端密封，再使整体温度降为100K，试问管中最后的压强是多大？

〖分析〗： 开始时长管中气体有温度分布，所以它不处于平衡态。但是整体温度降为

100K以后,长管中气体处于平衡态了。关键是求出开始时长管中气体的总的分子数，而它是和整体温度降为100K以后的分子数相等的。在计算分子数时要先求出长管中的温度分布，然后利用 p=nkT公式。

〖解〗：因为管子是一端开口的，所以 p?p0。显然，管子中气体的温度分布应该是

T(x)?200?1000?200xL

（1）由于各处温度不同，因而各处气体分子数密度不同。考虑x~x+dx一段气体, 它的分

子数密度为n(x),设管子的横截面积为S,考虑到p=nkT,则这一小段中的气体分子数为

dN?Sn(x)dx?管子中气体总分子数为

SpdxkT(x)

利用（1）式可得

SpLdxN??k?0T(x)

N?SpL800x?1??(200?)dxk0L

.p?p0）, 温度是 T ，则 管中气体最后的压强是p1（1N?SLp1/kT

由上面两式相等 , 最后可以计算出

p?(1/8)?p0?ln5?0.20p0

即：管中气体最后的压强为0.20p0。

1.6.10 一粒陨石微粒与宇宙飞船相撞，在宇宙飞船上刺出了一个直径为2?10m的小孔，若在宇宙飞船内的空气仍维持在一个大气压及室温的条件，试问空气分子漏出的速率是多少？ 【分析】宇宙飞船内气体分子穿过小孔逸出的分子数就等于该小孔封闭时碰到该小孔上的分子数。由于宇宙空间中的压强非常非常小，所以从宇宙空间穿过小孔进入宇宙飞船的分子数不必考虑。

【解】利用单位时间碰到单位面积器壁上的平均气体分子数公式，有

?4?N11p3RT?nv??r2?????r2?9.6?1019s?1 ?t44kTMm当然，也可以用??

2. 5. 1 一容积为1 升的容器，盛有温度为300 K，压强为30?10Pa的氩气，氩的摩尔质量为0.040 kg。若器壁上有一面积为1.0×10

-3

4nv19?1计算，则结果为6.4?10s 6㎝2的小孔，氩气将通过小孔从容

器内逸出，经过多长时间容器里的原子数减少为原有原子数的 1/e？

〖分析〗： 这是一个泻流问题, 可以应用气体分子碰壁数 ? 来解。应该注意, 容器内的分子数 (或者说容器内的分子数密度) 是随时间而减少的, 所以 ? 是个变量。或者说相等时间内流出去的分子数是不相等的，应该建立微分方程。考虑在 t 到 t?dt 时间内, 容器内的分子数由于泻流从 N变化为 N?dN, 其中 dN 就是在 dt 时间内泻流流出去的分子数, 列出dN 和 dt 之间的关系, 这就是解本题所需要的微分方程。经过分离变量, 积分, 就可以得到所需要的结果。

〖解〗： 在 dt 时间内在面积为 A 的小孔中流出的分子数为

-dN?nvAdt/4

其中 n 为气体分子数密度。考虑到气体的流出使得分子数减少, 所以在上式中加一负号。 现在在上式两边都除以容器体积 V, 并且在 0到 t 之间进行积分

?

t0?(v?A/4V)dt??n2n1(1/n)dn

现在要求容器中的原子数最后减少到 1 / e , 即

?(v?A/4V)t?ln(n2/n1)n2?n1/e,ln(n2/n1)??1

t?π?MmV2π?Mm4V4V????A8RTART A?v?100s

即：经过100 s容器内原子数减为原来的 1/e。.

2．6．1 试证若认为地球的大气是等温的, 则把所有大气分子压缩为一层环绕地球表面的、压强为一个大气压的均匀气体球壳，这层球壳厚度就是大气标高。

〖分析〗： 在离地高为 z~z?dz 的范围内的球壳体积为

dV(z)?4π(RE?z)2dz （1）

[ 说明：这是因为地球大气标高只有 8 km, 它比地球半径 RE 要小得多, 所以那一层球壳相对于地球来讲相当于一层“纸”。而“纸”的体积就等于球面面积再乘以“纸”的高度。]

当然, 我们也可以如下更清楚地求出：

dV(z)??4π[(z?dz?RE)3?(z?RE)3]34π[3(z?RE)2?dz?3(z?RE)?dz2?dz3] 3忽略dz 的二次方和三次方项, 同样有

〖解〗： 若设在海平面处的气体分子数密度 为n (0) , 在球壳体积dV( z ) 范围内的分子数

dV(z)?4π(z?RE)2dz

dN(z)?dV(z)?n(z)?4π(z?RE)2dz?n(0)?exp(?Mmgz/RT)

N?n(0)??04π(z2?2zRE?RE)?exp(?Mmgz/RT)dz2

令 RT/Mmg?H 称为大气标高, 设在海平面处的气体分子数密度为n(0)，所有大气的总分子数为N，则：

N?4πn(0)[?zexp(?z/H)dz?2RE?zexp(?z/H)dz

002?RE??0?2?exp(?z)]dzH

?n(0)?4πkT2kTkT12RE?[1??2()2?2]mgmg?REmgRE

（2）

现在来估计 kT/mgRE 的数量级。设地球大气为平均温度 T = 273 K 的等温大气，而且RE?6.4?106km,m?29?1.67?10?27kg

kT1.38?10?23?273??0.00124??1 （3） ?276mgR29?1.67?10?9.8?6.4?10E利用（3）式可以看到,（2）式的方括号中的第二项比第一项小3个数量级, 第三项又比第二项小3个数量级。我们完全可以忽略其中的第二项和第三项。 显然，用近似方法进行计算要简便得多。 这时

N?n(0)4πRE(2kT2)?n(0)?4πRE?H mg其中 H 为大气标高。由此看来，把地球的所有大气分子压缩为一层环绕地球表面的、压强为一个大气压的均匀气体球壳，这层球壳厚度就是大气标高。

2.B.4 设想在远离地球的太空中有一宇宙飞船，飞船内有一真空实验舱。内中有一质量为M的试管，它被质量为m的隔板分隔为体积相等的两部分。被隔板封闭的那部分空间中有温度为T，摩尔质量为Mm,物质的量为?的单原子理想气体。隔板被放开后，隔板无摩擦的向上移动。在隔板离开试管顶端后气体才开始从试管中逸出。设试管开始运动时试管静止。试求试管的最终速度。

设气体、试管、隔板三者之间的热量交换可以忽略，在隔板离开试管前，气体经历的是准静态过程。

【分析】由于试管外部为真空，开始时整个系统都是静止的，隔板被放开后气体将膨胀，但整个过程都是绝热的准静态过程，我们可以利用绝热过程方程来解这个问题。在绝热膨胀过程中，气体内能减少，温度降低。但是由于不存在重力，气体不对整个系统以外的部分做功，所减少的内能全部转化为隔板和试管的动能以及气体的整体定向运动动能，由于整个系统的总动量守恒，所以隔板向上运动的动量等于试管以及所装气体的向下运动的动量，这样就可以确定隔板离开试管时试管以及所装气体的向下运动的速度u1，以上称为过程“1”。

当隔板离开试管以后（这称为过程“2”）气体将陆续逸出（最终将全部逸出）试管。虽然系统仍然绝热，但是它不是准静态过程，绝热过程方程不能适用。详细分析:(1)在气体还没有逸出试管时，特别是隔板被固定时，由于气体分子的无规则运动，平均来说，分别有一半分子以平均速率撞击隔板和试管底，因而给隔板和试管底分别施以相等的动量。在隔板没有固定时，给以隔板动量使得气体做绝热膨胀；给以试管底的动量使得试管以u1速度向下运动。正如上面分析的，计算u1的关键是整个系统的总动量守恒。（2）当隔板离开试管时，气体已经以速度u1和试管一起向下运动。但是在隔板离开试管以后，气体给以试管底的动量仍然存在，这个动量使得试管向下的运动速度又增加了u2，我们可以在以u1速度向下运动的参考系中来求u2，而在地面参考系中试管的速度应该是u1+u2.