，

且有1+y、 1—y、y均不为0．

①-②得

by11?y ??????????????????????????④ ?，即b?1?y22y3(1?y2)a?2y?3，即a?③-①得 ????????????????????????

1?y22y⑤

由②、④、⑤得

51?y?(1?y)?a?b??(4?3y)，即5y?4?3y. 22y15115.由②得a?b??(1?)?. 2224于是，y?a?b15115??(1?)?小时. 1?y42215小时． 2即题中所述情况下从R到Q再到P需

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第21讲行程与工程

内容概述

运动路线或路况复杂，与周期性或数论知识相关联，需进行优化设计等具有相当难度的行程问题．工作效率发生改变，要完成的项目及参加工作的对象较多的工程问题．

典型问题

1。如图21-l，A至B是下坡，B至C是平路，C至D是上坡.小张和小王在上坡时步行速度是每小时4千米，平路时步行速度是每小时5千米，下坡时步行速度是每小时6千米．小张和小王分别从A和D同时出发，1小时后两人在E点相遇．已知E在BC上，并且E至C的距离是B至C距离的到达A后9分钟，小张到达D．那么A至D全程长是多少千米?

1．当小王5

【分析与解】 BE是BC的

41，CE是BC的，说明DC这段下坡，比AB这段下坡所用的时间多，也就55是DC这一段，比AB这一段长，因此可以在DC上取一段DF和AB一样长，如下图：

另外，再在图上画出一点G，使EG和EC一样长，这样就表示出，小王从F到C.小张从B到G． 小王走完全程比小张走完全程少用9分钟，这时因为小张走C至F是上坡，而小王走F至C是下坡(他们两人的其余行程走下坡、平路、上坡各走一样多)． 因此，小王从F至C，走下坡所用时间是9÷??6??1?=18(分钟)． ?4? 因此得出小张从B至G也是用18分钟，走GE或CE都用6分钟．走B至C全程(平路)要30分钟．

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从A至曰下坡所用时间是60-18-6=36(分钟)； 从D至C下坡所用时间是60-6=54(分钟)； A至D全程长是(36+54)×

65+30×=11.5千米． 60603米，如果它跳到A点，就会经过特别通道AB滑向曰点，82．如图2l-2，A，B两点把一个周长为l米的圆周等分成两部分．蓝精灵从B点出发在这个圆周上沿逆时针方向做跳跃运动，它每跳一步的步长是

并从B点继续起跳，当它经过一次特别通道，圆的半径就扩大一倍．已知蓝精灵跳了1000次，那么跳完后圆周长等于多少米?

【分析与解】

33×4=即蓝精灵跳4次到A点．圆半径扩大一倍即乘以2后，跳8次到A点． 82 圆半径乘以4后，跳16次到A点．

依次类推，由于4+8+16+32+64+128+256+492=1000，所以有7次跳至A点．

1000次跳完后圆周长是1×2=128米．

3．已知猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同；猫跑7步的路程与兔跑5步的路程相同．而猫跑3步的时间与狗跑5步的时间相同；猫跑5步的时间与兔跑7步的时间相同，猫、狗、兔沿着周长为300米的圆形跑道，同时同向同地出发．问当它们出发后第一次相遇时各跑了多少路程?

【分析与解】 方法一：由题意，猫与狗的速度之比为9:25，猫与兔的速度之比为25:49．

72549米，兔跑米．

25925675狗追上猫一圈需300÷(-1)=单位时间，

4949625 兔追上猫一圈需300÷(-1)=单位时间．

252675625 猫、狗、兔再次相遇的时间，应既是的整数倍，又是的整数倍.

42675625与的最小公倍数等于两个分数中，分子的最小公倍数除以分母的最大 42 设单位时间内猫跑1米，则狗跑

675,625?16875?675625???,??公约数,即?=8437.5． ?2?2?4,2??4上式表明，经过8437.5个单位时间，猫、狗、兔第一次相遇．此时，猫跑了8437.5米，狗跑了 8437.5×

2549=23437.5米，兔跑了8437.5×=16537．5米．

259方法二：有猫跑35步的路程与狗跑21步的路程，兔跑25步的路程相；而猫跑15步的时间与狗跑25

步的时间，兔跑21步的时间相同．

所以猫、狗、兔的速度比为

152521::，它们的最大公约数为 3521251?152521??15,25,21?. ,,?????352125??35,21,25?3?5?5?7Page 27 of 82

151251??225，那么狗的速度为??625 353?5?5?7213?5?5?7211??441． ，则兔的速度为

253?5?5?73 于是狗每跑300÷(625-225)=单位时追上猫；

425兔每跑300÷(441-225)=单位时追上猫．

18 即设猫的速度为 而?,有猫跑了

75?325??3,25?75，所以猫、狗、兔跑了单位时，三者相遇． ???2?418??4,18?2757575×225=8437.5米，狗跑了×625=23437.5米，兔跑了×441=16537.5米． 22275评注：方法一、方法二中的相遇时间一个是8437.5单位，一个是单位，可是答案却是一样的，为

2什么呢?

在方法二中，如果按下面解答会得到不同答案，又是为什么?哪个方法有问题呢?自己试着解决，并在今后的学习中避免这种错误．

1875米追上猫； 41225 兔每跑300÷(441-225)×441=米追上猫；

2 于是狗每跑300÷(625-225)×625= 而??18751225??1875,1225?，? ,??2??4,2??44．一条环形道路，周长为2千米．甲、乙、丙3人从同一点同时出发，每人环行2周．现有自行车2

辆，乙和丙骑自行车出发，甲步行出发，中途乙和丙下车步行，把自行车留给其他人骑．已知甲步行的速度是每小时5千米，乙和丙步行的速度是每小时4千米，3人骑车的速度都是每小时20千米．请你设计一种走法，使3个人2辆车同时到达终点．那么环行2周最少要用多少分钟?

【分析与解】 如果甲、乙、丙均始终骑车，则甲、乙、丙同时到达，单位“1”的路程只需时间

1；20乙、丙情况类似，所以先只考虑甲、乙，现在甲、乙因为步行较骑车行走单位“1”路程，耽搁的时间比为：

?11??11????:????3:4 ?520??420? 而他们需同时出发，同时到达，所以耽搁的时间应相等．于是步行的距离比应为耽搁时间的倒数比，即为4:3；因为丙的情形与乙一样，所以甲、乙、丙三者步行距离比为4:3:3．

因为有3人，2辆自行车，所以，始终有人在步行，甲、乙、丙步行路程和等于环形道路的周长．

4=0.8千米；则骑车的距离为2×2-0.8=3.2千米；

4?3?30.83.2? 所以甲需要时间为()×60=19.2分钟 520 于是，甲步行的距离为2×

环形两周的最短时间为19.2分钟．

参考方案如下：甲先步行0.8千米，再骑车3.2千米；

乙先骑车2.8千米，再步行0.6千米，再骑车0.6千米(丙留下的自行车)；

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