所以，打开三个出水孔灌满整个水箱所需的时间为30?1?2?82.5分钟 105 方法二：在打开一个出水孔时，从小孔流出的水量相当于进水管65?60?5分钟的进水量；在打开两个出水孔时，从小孔流出的水量相当于进水管72?60?12分钟的进水量．而且注意到，后者出水孔出水的时间比前者多72?65?7分钟.

因此两个出水孔7分钟的排水量相当于进水管12?5?2?2分钟的进水量 因此进水管1分钟的进水量相当于一个出水孔7分钟的排水量．

那么在打开一个出水孔的时候，小孔排水5?7?35分钟，也就是说，进水， 进水65?35?30分钟后，水面达到小孔高度．

因此打开三个出水孔的时候，灌满水箱需要30?30?(1?

1?3)?82.5分钟． 7第23讲运用比例求解行程问题

内容概述

本讲主要讲解如何利用比例求解行程问题，而行程问题中的三个量：速度、时间、路程在某些时候存在比例关系．

典型问题

1．甲、乙、丙三辆汽车各以一定的速度从4地开往B地．若乙比丙晚出发10分钟，则乙出发后40分钟追上丙；若甲比乙又晚出发20分钟，则甲出发后1小时40分钟追上丙；那么甲出发后追上乙所需要的时间为多少分钟?

【分析与解】 我们知道开始时，乙走了40分钟与丙走了40+10=50分钟的路程相等，所以速度比为乙：丙=5：4；甲走了100分钟，丙走了100+20+lO=130分钟所走的路程相等，所以速度比为：甲：丙=13：10

于是．甲：乙：丙=26：25：20．

于是，乙比甲先走20分钟，路程相当于20?25=500，速度差相当于26-25=l； 于是，追击时间为500?1=500分钟．

2. 客车和货车分别从甲、乙两地出发相向而行．如果两车出发的时间都是6：00，那么它们在11：00相遇；如果客车和货车分别于7：00和8：00出发，那么它们在12：40相遇．现在，客车和货车出发的时间分别是10：00和8：00，则何时它们相遇?(本题中所述的时间均为同一天，采用24小时制计法．)

【分析与解】 第一次，客、货各走了5小时；第二次，客、货各走了5小时40分，4小时40分，但是两次客、货所走的路程和不变；于是有300客+300货=340客+280货；40客=20货，所以客、货两车

111；所以客车速度为?3?； 55151224411?；货车的速度为?2=；货车先出发2小时，于是行走了?2?；于是剩下的路程为1?

15151515151511111??小时，还需要3小时40分钟，在10：00后计时，所以相遇时间为13还需要的时间为

1553的速度比为1：2：将全程看成“1”，则客、货车速度和为1÷5=

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点40分．

3．在久远的古代，有一个智者叫做芝诺，他曾经说过：兔子永远追不上10米外的乌龟．他这样解释：当兔子跑到10米处(即乌龟原来的地方)，乌龟已经往前走了一点；当兔子再次到达乌龟的位置时，乌龟又往前走了一点，??，也就说当兔子到达乌龟以前的位置时，乌龟总是往前走了一点，所以兔子永远追不上乌龟．你认为芝诺的说法错在哪里?

【分析与解】 因为兔子的速度比乌龟快，为了方便叙述，假设兔子的速度是乌龟的10倍． 那么，按芝诺的说法，这些时间，乌龟走的路程为：

10，1，0.1，0.01，0.001，??是无穷的，而10+1+0.1+0.01+0.001+?=在乌龟行走

100，也就是说兔子只是9100100米之前追不上．等乌龟在米之后，兔子就在它的前面了． 99 在这里，芝诺用无穷个数的和来说明它们的和一定是无穷的，这显然是谬误的．

第24讲 应用题综合

内容概述

较为复杂的以成本与利润、溶液的浓度等为内容的分数与百分数应用题．要利用整数知识，或进行分类讨论的综合性和差倍分问题．

典型问题

1．某店原来将一批苹果按100％的利润(即利润是成本的100％)定价出售．由于定价过高，无人购买．后来不得不按38％的利润重新定价，这样出售了其中的40％．此时，因害怕剩余水果腐烂变质，不得不再次降价，售出了剩余的全部水果．结果，实际获得的总利润是原定利润的30.2％．那么第二次降价后的价格是原定价的百分之多少?

【分析与解】第二次降价的利润是：

(30.2％-40％×38％)÷(1-40％)=25％，

价格是原定价的(1+25％)÷(1+100％)=62.5％.

2．某商品76件，出售给33位顾客，每位顾客最多买三件．如果买一件按原定价，买两件降价10％，买三件降价20％，最后结算，平均每件恰好按原定价的85％出售．那么买三件的顾客有多少人?

【分析与解】 3×(1-20％)+1×100％=340％=4×85％，所以1个买一件的与1个买三件的平均，正好每件是原定价的85％．

由于买2件的，每件价格是原定价的1-10％=90％，所以将买一件的与买三件的一一配对后，仍剩下一些买三件的人，由于

3×(2×90％)+2×(3×80％)=12×85％．

所以剩下的买三件的人数与买两件的人数的比是2:3．

于是33个人可分成两种，一种每2人买4件，一种每5人买12件．共买76件，所以后一种

4124)÷(-)=25(人)． 2523 其中买二件的有：25×=15(人)．

5(76-33×

前一种有33-25=8(人)，其中买一件的有8÷2=4(人)．

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于是买三件的有33-15-4=14(人)．

3.甲容器中有纯酒精11立方分米，乙容器中有水15立方分米．第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器，使酒精与水混合；第二次将乙容器中的一部分混合液倒人甲容器．这样甲容器中的纯酒精含量为62.5％，乙容器中的纯酒精含量为25％．那么，第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是多少立方分米?

【分析与解】 设最后甲容器有溶液x立方分米，那么乙容器有溶液(11+15-x)立方分米．

有62.5％×x+25％×(26-x)=11，解得x=12，即最后甲容器有溶液12立方分米，乙容器则有溶液26-12=14立方分米．

而第二次操作是将乙容器内溶液倒入甲容器中，所以乙溶液在第二次操作的前后浓度不变，那么在第二次操作前，即第一次操作后，乙容器内含有水15立方分米，则乙容器内溶液15÷(1-25％)：20立方分米.

而乙容器最后只含有14立方分米的溶液，较第二次操作前减少了20-14=6立方分米，这6立方分米倒给了甲容器.

即第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是6立方分米.

4．1994年我国粮食总产量达到4500亿千克，年人均375千克．据估测，我国现有耕地1.39亿公顷，其中约有一半为山地、丘陵．平原地区平均产量已超过每公顷4000千克，若按现有的潜力，到2030年使平原地区产量增产七成，并使山地、丘陵地区产量增加二成是很有把握的．同时在20世纪末把我国人口总数控制在12.7亿以内，且在21世纪保持人口每年的自然增长率低于千分之九或每十年自然增长率不超过10％．请问：到2030年我国粮食产量能超过年人均400千克吗?试简要说明理由．

【分析与解】 山地、丘陵地区耕地为1.39÷2≈0.70亿公顷，那么平原地区耕地为1.39-0.70=0.69亿公顷，因此平原地区耕地到2030年产量为:4000×0.69×1.7=4692(亿千克)； 山地、丘陵地区的产量为：(4500-4000×0.69)×1.2=2088(亿千克)； 粮食总产量为4692+2088=6780(亿千克)．

3

而人口不超过12.7×1.1≈16.9(亿)，按年人均400千克计算．共需400×16.9=6760(亿千克)．

所以，完全可以自给自足．

5．要生产基种产品100吨，需用A种原料200吨，B种原料200.5吨，或C种原料195.5吨，或D种原料192吨，或E种原料180吨．现知用A种原料及另外一种(指B，C，D，E中的一种)原料共19吨生产此种产品10吨．试分析所用另外一种原料是哪一种，这两种原料各用了多少吨?

【分析与解】 我们知道题中情况下，生产产品100吨，需原料190吨。

生产产品100吨，需A种原料200吨，200?190，所以剩下的另一种原料应是生产100吨，需原料小于190吨的，B、C、D、E中只有E是生产100吨产品。只需180吨(180?190)，所以另一种原料为E， 设A原料用了x吨，那么E原料用了19-x吨，即可生产产品10吨：

x×

100100+(19-x)×=10,解得x=10．

180200即A原料用了10吨，而E原料用了19-10=9吨．

6．有4位朋友的体重都是整千克数，他们两两合称体重，共称了5次，称得的千克数分别是99，113，125，130，144．其中有两人没有一起称过，那么这两个人中体重较重的人的体重是多少千克?

【分析与解】在已称出的五个数中，其中有两队之和，恰好是四人体重之和是243千克，因此没有称过的两人体重之和为243-125=118(千克)．

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设四人的体重从小到大排列是a、b、c、d，那么一定是a+b=99，a+c：=113． 因为有两种可能情况：a+d=118，b+c=125； 或b+c=118．a+d=125．

因为99与113都是奇数，b=99-a，c=113-a，所以b与c都是奇数，或者b与c都是偶数，于是b+c一定是偶数，这样就确定了b+c=118． a、b、c三数之和为：(99+113+118)÷2=165． b、c中较重的人体重是c，

c=(a+b+c)-(a+b)=165-99=66(千克)．

没有一起称过的两人中，较重者的体重是66千克．

补充选讲问题

1、A、B、C四个整数，满足A+B+C=2001，而且1

【试题分析】 我们注意到： ①1+A<1+B<1+C

②1+A<1+B

(A-1)：(B-1)：(C-1)=2：3：4，A+B+C=2001 A-1+B-l+C-1=1998．

2=444，A=444+1=445；

2?3?434B=1998×+l=667；C=1998×+l=889．

2?3?42?3?4 于是A-l=1998×

再看②l+A

(A-1)：(B-1)：(C-1)=1：2：4，A+B+C=2001．

A-1+B-1+C-1=1998． 于是A-1=1998×

1，A不是整数，所以不满足．

1?2?4于是A为445，B为667，C为889．

7．甲、乙两人参加同一场考试，又同时在上午10点离开考场，同时午饭．但甲说：“我是在午饭前2小时与考试开始后1.5小时这两个时间中较早的一个时间离开考场的．”乙说：“我是在午饭前2.5小时与考试后1小时这两个时间中较晚的一个时间离开考场的”．求考试开始和午饭开始的时间．

【分析与解】 由题中条件知，午饭前2小时，考试开始后1.5小时，早者为10点；于是，有两种情况：

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