五章习题解答
5.1 真空中直线长电流的磁通。
I的磁场中有一等边三角形回路，如题5.1图所示，求三角形回路内解 根据安培环路定理，得到长直导线的电流I产生的磁场
?0Iz B?e?2?r
I 穿过三角形回路面积的磁通为b ??gdS??d?3b20I2zd?3b2
[?dz]dx??0Idx?B
S2??dx0??zdxdx dS 由题5.1图可知，z?(x?d)tan??d6?x3，故得到 d?3b2题 5.1 图
???0I3??x?dxdx??0I?[b2?d3ln(1?3b2d)]
d5.2 通过电流密度为J的均匀电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔，如题5.2图所
示。计算各部分的磁感应强度 将空腔中视为同时存在B，并证明腔内的磁场是均匀的。
解J和?J的两种电流密度，这样可将原来的电流分布分解为两个均匀的电流分布：一个电流密度为均匀分布在半径为a的圆柱内。由安培环路定律，J、均匀分布在半径为分别求出两个均匀分布电流的磁场，b的圆柱内，另一个电流密度为然后进行?J、叠加即可得到圆柱内外的磁场。
由安培环路定律
??B?dl??0I，可得到电流密度为J、均匀分布在半径为b的圆柱内的电
C???0流产生的磁场为 B?2J?rbrb?bb??r ??20bJ?bJrb r??2r2rb?bb oda a 电流密度为?J、均匀分布在半径为a的圆柱内的电流产生的磁场为 bb oa ? ???02J?rara?aB??题5.2图
a???a2J?r ???0a2r2ra?a
a这里ra和rb分别是点oa和ob到场点P的位置矢量。
将Ba和Bb叠加，可得到空间各区域的磁场为
圆柱外：B??0?b2a2?2J???r2rb?2ra? (rb?b)br
a? 圆柱内的空腔外：B??02J???ra2??b?r2ra? (rb?b,ra?a) a? 空腔内： B??0?2J??rb?ra??02J?d (ra?a) 式中d是点和ob到点oa的位置矢量。由此可见，空腔内的磁场是均匀的。
5.3 下面的矢量函数中哪些可能是磁场？如果是，求其源变量J。 (1) H?erar,B??0H （圆柱坐标）
(2) H?ex(?ay)?eyax,B??0H (3) H?exax?eyay,B??0H (4) H?e?ar,B??0H（球坐标系）
解 根据恒定磁场的基本性质，满足??B?0的矢量函数才可能是磁场的场矢量，否则，不是磁场的场矢量。若是磁场的场矢量，则可由J???H求出源分布。
（1）在圆柱坐标中 ??B?该矢量不是磁场的场矢量。 （2） ??B?1?1?(rBr)?(ar2)?2a?0 r?rr?r??(?ay)?(ax)?0 ?x?yex该矢量是磁场的矢量，其源分布为 J???H?ey??yaxez??ez2a ?z0??x?ay （3） ??B???(ax)?(?ay)?0 ?x?yexeyez该矢量是磁场的场矢量，其源分布为 J???H?????0
?x?y?zax?ay0 （4） 在球坐标系中 ??B?1?B?1??(ar)?0
rsin???rsin???erre?rsin?e?该矢量是磁场的场矢量，其源分布为
1????eractag??e?2a 2rsin??r????00ar2sin??J(r?)d??证明磁感应强度的积分公式 5.4 由矢量位的表示式A(r)??4??R?J(r?)?RB(r)?0?d?? 34??RJ???H?并证明??B?0
解: B(r)???A(r)????04??0?0J(r?)1J(r?)???d????d???J(r)??()d??? ???R4??R4??R???0R?0J(r?)?R??J(r)?(?)d??d?? 3?3?4??R4??R??B???[??A(r)]?0
5.5 有一电流分布J(r)?ezrJ0(r?a)，求矢量位A(r)和磁感应强度B(r)。
解 由于电流只有ez分量，且仅为r的函数，故A(r)也只有ez分量，且仅为r的函数，即在圆柱坐标系中，由Az(r)满足的一维微分方程和边界条件，即可求解出A(r)，A(r)?ezAz(r)。
然后由B(r)???A(r)可求出B(r)。
记r?a和r?a的矢量位分别为A1(r)和A2(r)。由于在r?a时电流为零，所以
1??Az1?2Az1(r)?(r)???0J0r （r?a）
r?r?r1??Az2?2Az2(r)?(r)?0 （r?a）
r?r?r由此可解得
1Az1(r)???0J0r3?C1lnr?D1
9Az2(r)?C2lnr?D2
Az1(r)和Az2(r)满足的边界条件为 ① r?0时，Az1(r)为有限值
?A?Az2 ② r?a时，Az1(a)?Az2(a)，z1r?a?r?a?r?r111由条件①、②，有 C1?0，??0J0a3?C2lna?D2，??0J0a2?C2 93a111由此可解得 C2???0J0a3，D2???0J0a3(?lna) 333故
1Az1(r)???0J0r3?D1 （r?a）
9111Az2(r)???0J0a3lnr??0J0a3(?lna) （r?a）
333式中常数D1由参考点确定，若令r?0时，Az1(r)?0，则有D1?0。
空间的磁感应强度为
z P(x,y,z)
? r a b I x 题5.6图
y
矩形回路。
（1）求远处的任一点P(x,y,z)的矢量位A(r)，并证明它可以写成 A(r)?1 ?0J0r2 （r?a）3?0J0a3 （r?a） B2(r)???A2(r)?e?3r5.6 如题5.6图所示，边长分别为a和b、载有电流I的小
B1(r)???A1(r)?e??0pm?r。 其中
pm?ezIab； 34?r?0Iabez?er场点对小电流回路所张的立体角。
?(d?) 式中d??4?r2?I1解 （1）电流回路的矢量位为 A(r)?0??Rdl? 4?CB??式中：R?[(x?x?)2?(y?y?)2?z2]12?[r2?2rsin?(x?cos??y?sin?)?x?2?y?2]12 根据矢量积分公式
（2）由A求磁感应强度B，并证明B可以写成
??C?dl??SdS???，有
1R1R11???dl?dS??() ???RRCS而 ??()???() 所以 A(r)???0I1?dS??() ?4?SR对于远区场，r??x?,r??y?，所以R?r，故
?0I?011?01??dS??()??[IdS]??()??(ezIab)??()? ??4?Sr4?Sr4?r??p?rr?0pm?(?3)?0m3 4?r4?r??psin? r（2）由于 A(r)??0pmez?(?)?e?0m4?r34?r2?0pm1?1?(er2cos??e?sin?) 故 B???A?er(sin?A?)?e?(rA?)?34?rrsin???r?rez?er cos?3又由于 er2cos??e?sin???r3?()??r?()22A(r)??rr?p?Iabez?er?0Ie?e故 B??0m?(zr)??0?()???(d?) 224?r4?r4?5.7 半径为a磁介质球，具有磁化强度为
M?ez(Az2?B)
其中A和B为常数，求磁化电流和等效磁荷。
解 磁介质球内的磁化电流体密度为 Jm???M??ez??(Az2?B)??ez?ez2Az?0
?等效磁荷体密度为 ?m????M??(Az2?B)??2Az ?z磁介质球表面的磁化电流面密度为
z
JmS?M?nr?a?ez?er(Aa2cos2??B)?
e?(Aa2cos2??B)sin?
I
等效磁荷面密度为
?1??0 ?2??
?m?n?Mx
r?a?er?ez(Aa2cos2??B)?
(Aa2cos2??B)cos?
5.8 如题5.8所示图，无限长直线电流I垂直于磁导率分别为
（1）两种磁介质中的磁感?1和?2的两种磁介质的分界面，试求：
题5.8图