1数字滤波器

1.1数字滤波器的概述

所谓数字滤波器，是指输入输出均为数字信号，通过一定的运算关系，改变输入信号中所含频率成分的相对比例，或则滤除某些频率成分的器件[3]。数字滤波器具有稳定性高、精度高、灵活性大等突出优点。对于数字滤波器而言，若系统函数为H(z),其脉冲响应为h(n),输入时间序列为x(n),则它们在时域内的关系式如下：

y(n)?h(n)?x(n) (1-1) 在Z域内，输入和输出存在如下关系：

Y(z)?H(z)X(z) (1-2)

式中， X(z)、Y(z)分别为x(n)和y(n)的Z变换。 在频域内，输入和输出则存在如下关系：

Y(j?)?H(j?)X(j?) (1-3) 式中，H(j?)是数字滤波器的频率特性；X(j?)、Y(j?)分别为x(n)和y(n)的频谱，而?为数字角频率。

1.2数字滤波器的分类

数字滤波器可以有很多种分类方法，但总体上可分为两大类。一类称为经典滤波器，即一般的滤波器，其特点是输入信号中的有用成分和希望滤除的成分占用不同的频带，通过合适的选频滤波器可以实现滤波[4]。例如，若输入信号中有干扰，信号和干扰的频带互不重叠，则可滤出信号中的干扰得到纯信号。但是，如果输入信号中信号和干扰的频带相互重叠，则干扰就不能被有效的滤除。另一类称为现代滤波器，如维纳滤波器、卡尔曼滤波器等，其输入信号中有用信号和希望滤除的频带成分重叠。对于经典滤波器，从频域上也可以分为低通、高通、带通和带阻滤波器。从时域特性上看，数字滤波器还可以分为有限脉冲响应（FIR，finite impulse response）数字滤波器和无限脉冲响应（IIR, infinite impulse response）数字滤波器[5]。

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对于有限脉冲响应（FIR）数字滤波器，其输出y(n)只取决于有限个过去和现在的输入，x(n),x(n-1),…,x(n-m),滤波器的输入输出关系可表示为

My(n)??brx(n?r) (1-4)

r?0对于无限脉冲响应（IIR）数字滤波器，它的输出不仅取决于过去和现在的输入，而且还取决于过去的输出，其差分方程为

NMy(n)??aky(n?k)??brx(n?r) (1-5)

k?1r?0该差分方程的单位冲激响应是无限延续的。

1.3数字滤波器设计指标

设数字滤波器的传输函数用下式表示：

H(ej?)?H(ej?)ej?(?)

(1-6)

式中，｜H(ej?)｜为幅频特性，?(?)为相频特性[6]。幅频特性表示信号通过滤波器后各频率成分的衰减情况，相频特性则反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。通常，选频滤波器的指标要求都以幅频特性给出，对相频特性不作要求，如果需要对输出波形有严格要求，如语音合成、波形传输等，则要求设计线性相位数字滤波器[7]。

数字滤波器的参数指标是?p、?s、?p和?s。?p和?s分别称为通带截止频率和阻带截止频率。通带和阻带内允许的衰减一般用分贝数表示，通带内允许的最大衰减用?p表示，阻带内允许的最小衰减用?s表示，?p和?s分别定义为

?p?20lgH(ej0)H(ep)j???20lgH(ep) dB (1-7）

j??s?20lgH(ej0)H(ej?s)??20lgH(ej?s) dB (1-8)

式中均假定H(ej0)已被归一化为1

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2 FIR数字滤波器设计基础

2.1 FIR数字滤波器的特点

FIR滤波器在保证幅度特性的同时，很容易做到严格的线性相位特性。在数字滤波器中，FIR滤波器的最主要特点是没有反馈回路，故不存在不稳定的问题；同时，在幅度特性可以任意设置的同时，保证了精确的线性相位。稳定和线性相位是FIR滤波器的突出优点。另外还有以下特点：设计方式是线性的；硬件容易实现；滤波器过渡过程具有有限区间；相对IIR滤波器而言，阶次较高，其延迟也要比同样性能的IIR滤波器大得多[8]。

2.2 FIR数字滤波器的线性相位条件：

设滤波器单位脉冲响应的长度为N，系统函数为

H(z)??h(n)z?n (2-1)

n?0N?1由此式可见，H(z)是z?1的(N-1)次多项式,它在Z平面上有(N-1)个零点，原点z=0是(N-1)阶重极点，位于r =1的单位圆内，系统永远稳定。稳定性和线性相位特性是FIR滤波器的突出优点。

FIR滤波器的设计任务是选择有线长度的h(n)，使传输函数H(ej?)满足要求。

线性相位条件：

对于长度为N的h(n)，传输函数为

N?1n?0H(e)??h(n)e?j?n (2-2)

jwH(ejw)?Hg(?)e?j?(w) (2-3)

式中,Hg(?)称为幅度特性，?(?)称为相位特性。线性相位是指相位函数?(?)满

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足如下特性：?(w)???w或?(?)??0??w, ?0是起始相位，?为常数，一般称第一种情况为第一类线性相位，称第二种情况为第二类线性相位。

满足第一类线性相位的充要条件是：h(n)为实序列，并且对(N-1)/2偶对称，即h(n)?h(N?n?1)；满足第二类线性相位的充要条件是：h(n)为实序列，并且对(N-1)/2奇对称，即h(n)??h(N?n?1)。

2.3 FIR数字滤波器的基本结构

FIR滤波器的基本结构有以下几种：直接型、级联型、线性相位型、频率采样型。

1. 直接型

设FIR滤波器的单位冲击响应h(n)为一个长度为N的序列，则滤波器系统函数为：

N?1n?0H(z)??h(n)z?n （2-4）

表示这一系统输入输出关系的差分方程为

N?1y(n)??h(m)x(n?m) (2-5)

m?0直接由差分方程可得出对应的网络结构如图2-1所示：

x(n)z?1h(0)z?1h(1)h(2)z?1h(N-2)h(N-1)y(n)

图2-1 FIR滤波器的直接型结构 直接型结构的优点：简单直观，乘法运算量较少。 缺点：调整零点较难。 2．级联型

当需要控制滤波器的传输零点时，可将H(z)分解为实系数二阶因子的乘积形式：

N/2k?1H(z)??(?0k??1kz?1??2kz?2) (2-6)

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