1
作业3 刚 体
3-1 一飞轮的转动惯量为J，在 t = 0时角速度为历制动过程，阻力矩M的大小与角速度系数k > 0，当角加速度
(TB?TA)R?J??mCR2?2（3）
a?R? （4）
?0，此后飞轮经
所以
a?mBg = 7.61 m/s
mA?mB?mc22
?的平方成正比，比例
???03时，飞轮的
TA?MAa= 381 N TB?mB(g?a)= 440 N
3-5 以力F 将一块粗糙平面紧压在轮上，平面与轮之间的滑动摩擦从开始制动到???03时，?? ，
所经过的时间 t = . 解：由转动定律：
M??K?2?J? 将
???03代入 得 ???k?029J
由
?K?2?J??Jd?dt ??03k??d??o?2?t0J dt 解得 t?2J? 0k3-2 一滑轮半径为10cm,?22 转动惯量为
1.0?10 kg?m,
有一变力
F?0.50t?0.30t2 (N)沿切线方向作用在
滑轮的边沿上，滑轮所受力矩为
0.05t?0.03t2 N?m．如果滑轮最初处于静止状态，则在3.0s后的角速
度为 49.5 rad/s． 解
M??rF?0.10?0.50t?0.30t2?：
?0.05t?0.03t??2
N?m
M?Jd?dt?
?Mdt??Jd??
???1.0?10?2o? d???3.0?0.05t?0.03t2? dt?
o??49.5rad/s
3-3 如图，滑块A，重物B和滑轮C的质量分别为mA = 50 kg，mB
= 200 kg和mC = 15 kg，滑轮半径为R = 0.10 m，
J0?mCR22，A与桌面之间，滑轮与轴承间均无摩擦，
绳质量可不计，绳与滑轮间无相对滑动．求滑块A的加速度及滑轮两边绳中的张力． 解：P110 6.3 TA?MAa （1）
mBg?TB?mBa（2）
系数为
?，轮的初角速度为 ?0，问转过多少角度时轮即停
止转动？已知轮的半径为R，质量为m，可视为匀质圆盘，转动
惯量为 J = mR2/2；轴的质量忽略不计；压力F均匀分布在轮面
上． P115 6.13
解：以轮心为中心，r为半径，取宽为dr的细环，
细环上压力为 dF?(Fπ R2)?2π r?dr，
细
环
上
摩
擦
力
为 df?? dF?2?(FR2)r dr
df
对
轴
的
力
矩
为 dM?? r df?2?(FR2)r2dr
总
摩
擦
力
矩
为
M??dM?2?(FR2)?R0r2dr?2?FR3
由动能定理
?M????0?J?202
∴ 2???3mR?08?F
3-6 已知滑轮对中心轴的转动惯量为J，半径为R，物体的质量为m，弹簧的劲度系数为k，斜面的倾角为
?，物体与斜面间光滑，系
统从静止释放，
且释放时绳子无伸长（如图所示），求物体下滑x距离时的速率．原题 5－5 解：∵ 仅保守力作功，∴ 机械能守恒
12kx2?12J?2?12m?2?mgxsin?
而
???R ∴ ??2mgxsin??kx2mR2?J?R
C A 2
B 题3-3图
3-7 氧分子对垂直于两氧原子连线的对称轴的转动惯量为1.94
?10?46kg?m2，氧分子质量为5.30
?10?26kg．若
氧气中有一个氧分子具有500 m/s 的平动速率，且这个分子的转动动能是其平动动能的2/3．这个分子转动角速度大小为 6.75×1012 (rad/s)．
解：
Ekr?J?22，
Ekt?m?22，Ekr?2Ekt3，
??2m(3J)?=
6.75×1012
(rad/s)
P116 6.14
3-8 一人手执两个哑铃，两臂平伸坐在以
?0角速度旋转的转轴
处，摩擦可不计，现突然将两臂收回，转动惯量为原来的1/3，则收臂后的转动动能是收臂前的 3 倍． 解：
J0?0?J0?3 收臂后角速度 ??3?0 ，收
臂前动能
Ek?J0?022
收
臂
后动能 E2k???J03??3?0?2?3J0?022 ∴
Ek?Ek?3
3-12 如图所示，一质量m、长 l 的匀质细杆，以O点为轴，从静止在与竖直方向成
?0角处自由下摆，到竖直位置时与光滑桌面
上一质量也为m的静止物块（可视为质点）发生弹性碰撞，已知杆对O轴的转动惯量为ml23．求：⑴棒开始转动时的角加
速度;
⑵ 棒转到竖直位置碰撞前的角速度
?1及棒中央点C的速度
?C1．
⑶ 碰撞后杆的角速度
?2和物块的线速度?2．
解：⑴ 由转动定律 M?J? M?mgl2sin?0
联立求得 ??3gsin?022l（rads）
⑵ 棒从?0角转到竖直位置过程，机械能守恒有：
mgl2?1?cos?10??2J?21， mgl?1?cos?1220??m6l2?1
得： ?3g?1?co?s0?1?l ①， ?l1C1??12?23gl?1?cos?0?
⑶ 棒与物块在弹性碰撞过程中对转轴的角动量守恒，有：
13ml2?121?3ml?2?ml?2
②
由
机
械
能
守
恒
，
得
：
12?13ml2?21122121?2?3ml?2?2m?2 ③ 联立 ① ② ③ 式得：
?12?23gl?1?cos?0?
?13g2??2l?1?cos?0? （逆时针反转） Om题3-11?0图 CCm题3-12图
3
3-13 单摆和直杆等长l，等质量m，悬挂于同一点O，摆锤拉到高度h0（h0 ≤ l ）放开，与静止的直杆作弹性碰撞，已知直杆绕O点的转动惯量J?ml23，求碰撞后直杆下端可上升的最
大高度h．
解: 碰撞前摆锤速率
?0?2gh0
设碰撞后摆锤速率?，直杆角速率?，已知
J?ml23，则
碰撞前后角动量守恒 ml?0?ml??J?
碰
撞
前
后
机
械
能
守
恒 1m?2?1m?2?12J?2202 直杆上升过程机械能守恒
J?22?mgh2
解得
??3?02l
h?3h02
*3-14 一长为 l 的匀质细杆，可绕通过中心O的固定水平轴在铅垂平面内自由转动（转动惯量为
ml212）
，开始时杆静止于水平位置．一质量与杆相同的昆虫以速率
?0垂直落到距O点
l4 处的杆上，
昆虫落下后立即向杆的端点爬行，如图所示．若要使杆以匀角速度转动，试求昆虫沿杆爬行的速率．P107 6.5 解：设杆和虫的重量均为m，碰后角速度为?，虫落到杆上为完
全非弹性碰撞（时间很短，重力可忽略），对杆和虫的系统，合
外力矩为零，角动量守恒
m?l4?[ml212?m(l4)20]?
得
??12?70l
设碰后t时刻，杆转过
?角，虫爬到距O点为r处，此时杆
和虫系统所受合外力矩为
M?mgrcos?
根据角动量定理有
M?d(J?)dt
由题设?不变，∴ M??dJdt
t时刻系统对O的转动惯量为 J?ml212?mr2，
代入上式，有
mgrcos??2m?rddrt
∴ 为了保持
?不变，虫的爬行速录应为
??12?70l
??drgcos?gdt?2??2?cos?t?247?lcos(12?07l0t)
O l l m m
h0 题3-13图
l4O?0题3-14图
l4mO?0mr?mg4
作业5 热力学基础
5-1 一定量理想气体从a (2p1，V1) 状态经历如图直线过程到 b(p1，2V1) 状态，则在ab过程中系统对外作功
A = 3P1V1/2 ，内能改变 ?E= 0 ．
解
：
面
积
A?12(p）?31?2p1)?（2V1?V12p1V1，
又因为
paVa?pbVb，所以TA?TB，?E?0
5
P2P1 a P1 b O V1 2V1 V 题5-1图
5-4 图示为1摩尔的理想气体的T-V图，ab为直线，其延长线过O点，则ab过程是 等压 过程，在此过程中气体对外作功为 RT0/2 ．
原题 9—4
5-8 1 mol理想气体，
CV?3R2，进行图示的循环，ab和
cd为等压过程，bc和da为等体过程，已知：
pa?2.026?105Pa，Va?1.0L，
pc?1.013?105Pa，Va?2.0L．试求循环的效率．
解： 循环中气体做功
A?pa(Vb?Va)?pc(Vb?Va)?(pa?pc)(Vb?Va)
= ?? = 1.013 × 102 (J)
Ta?paVaR=?= 24.4 (K)；
Tb?pbVbR=?= 48.8
(K)；
TpdVdd?R=?= 12.2 (K).
在 da等体过程和ab等压过程中，气体吸热
Q1?Qda?Qab?CV(Ta?Td)?Cp(Tb?Ta)=?= 659 (J)
∴ 循环的效率
??AQ=?=15.4% 1
5-9 一卡诺热机工作于温度为1000 K与300 K的两个热源之间，
如果
⑴ 将高温热源的温度提高100 K，则理论上热机的效率将增加
3 %；
⑵ 将低温热源的温度降低100 K，则理论上热机的效率各增加
10 %
T T0 b ． 解：热机工作a 在1000 K与300 K之间时O V0 2V0
V
的
效
率
??1?T题5-4图
2T1=?= 70%
⑴ 高温热源提高100 K时的效率 ?1?1?T2T1?=?= 73%，提高
?1??= 3%； p⑵ 低温热源降低100 Kp时的效率a ?a1?Tb2?2?T1=?= 80%，提高
?2??= 10%；p cdcOVaVbV题5-8图
6
7
5-12 一台电冰箱，为了制冰从260 K的冷冻室取走热量209 kJ．如果室温是300 K，电力做功至少应是多少（假定冰箱为理想卡诺循环致冷机）？如果此冰箱能以0.209 kJ/s的速率取出热量，试问所需电功率应是多少？
?7?273= 5.6
(57?273)?(7?273)??wA= 3.81×10 J Q27
它从天然蓄水池中吸热
解：
此
卡
诺
循
环
的
致
冷
系
数
为
每燃烧1 kg燃料所能共给暖气系统的总热量为
w?Q2T2260A?T?=?= 6.5 1?T2300?260从冷冻室取走热量209 kJ时，所需电功至少为A?Q2w=?
= 3.22×104 J = 32.2 kJ
如果此冰箱以0.209 kJ/s的速率取出热量，所需电功率至少为 P?0.209?1036.5 =
32.2 w
*5-13 有一套动力装置，用蒸汽机带动致冷机．若蒸汽机锅炉的温度为227℃，用暖气系统作为蒸汽机的制冷器，制冷器温度为57℃；致冷机在温度为7℃的天然蓄水池中吸热，并放给暖气系统．试求每燃烧1 kg燃料（燃烧值为2.00×107 J/kg）所能共给暖气系统热量的理想值． 解：
蒸
汽
机
的
效
率
为 ??A57?2Q?1?T2?1?73= 34% 1T1227?273从1 kg燃料中吸收的热量为
Q1= 2.00×107
J
对外做功为
A??Q1=?= 6.80×106
J
因此放入暖气系统的热量为 Q2?Q1?A = 1.32×107
J
致
冷
机
的
致冷系数为 w?Q?2A?T2?T1??T2? Q总?Q2?Q1??Q1?A?Q?2?A?Q1?Q?2=?= 5.81×107
J
8
作业7 振 动
7-1 固体中相邻原子之间的作用力类似于用弹簧联接的弹力．在常温下，固体中原子振动的频率约为
1013Hz，某固体中的一个
银原子以此频率振动，假设其余原子都不动．已知一摩尔银（有6.02
?1023个原子）的质量为 108 g．则原子间的等
效劲度系数为 707 N/m．
P131. 7.4 解：银原子质量 m = 108×10?3
/6.02×1023
,
k?(2πv)2m= 707 N/m．
7-2 喇叭膜片作简谐振动，频率为 440 Hz，其最大位移为 0.75 mm，则角频率为
880π ；最大速率为 2.07 m/s；最大加速度为 5.73×103 m/s2．
P132. 7.6 解：
x?Acos(?t??)，
??2π?；
????Asin(?t??)，?max??A；
a???2Acos(?t??)，
amax??2A
7-3 一汽车可视为是被支撑在四根相同的弹簧上，可沿铅垂方向振动，频率为3.00 Hz，车的质量为 1450 kg，设车重均匀的分配在四根弹簧上，则每根弹簧的劲度系数k = 1.288×105 N/m；若有平均质量为 73.00 kg的 5 个人坐在车上，仍定车和人的总重量均分于四根弹簧上，则此时车与人所构成系统的振动频率为v = 2.68 Hz． P137 7.14 解：四根弹簧并联 k??4k，??k?m，
?
k?π2v2m= 1.288×105
N/m
M
=
1450
+
73
×
5
，
?
v?(12π)4kM = 2.68 Hz
7-4 图(a)、(b)为两个简谐振动的 x ~t曲线，用余弦函数表示振动时，它们的初相位分别是 ?a= ??
?/3 ，?b= ?
?/2 ；
角频率分别为
?a
= 5?/6 rad/s，
?b= ? rad/s；图(a)
曲线上P点的相位
?P= ?
?/3 ，速度的方向为 负 ，加
速度的方向与速度的方向x 相同 ，达到P点的时刻 t =
A A/2 P O 1 t (s) 0.8 s．
原题 19-4
x 9
A O 1 t (s) 题7-4图
7-6 一长方形木块浮于静水中，其浸入深度为 h，用手慢慢下压木块，使其浸入深度变为 b，然后放手任其运动．⑴ 试证明：若不计阻力，木块的运动为谐振动，并写出木块运动的动力学（微分）方程；⑵ 求振动的角频率，周期，振幅，初相位，并写出木块的运动学（余弦函数）方程．P138 7.15 解：⑴ 取如图所示的坐标系，
木块在任一位置x处所受浮力为 f?(h?x)S? g
由平衡条件有 mg?hS? g
木块所受合力为 F?mg?f??S? g x
木
块
运
动
微
分
方
程
为 md2xdt2??S? g x??mhgx
2即 dxdt2? ghx?0 ∴木块的运动为谐振动． ⑵ 振动的角频率
??gh， 周期 T?2πhg
设木块的运动学方程为 x?Acos(?t??)
由初始条件 t = 0时
x0?Acos??b?h，
?0??? Asin??0，求得
振幅 A?b?h， 初相位 ??0
∴
木
块
的
运
动
学
方
程
为 x?(b?h)cos(ght)
10
bh题7-6图 bOhxx
*7-14 如图所示，一直角匀质刚性细杆，水平部分杆长为l，质量为m，竖直部分杆长为 2l，质量为2m，细杆可绕直角顶点处的水平固定轴O无摩擦地转动，水平杆的末端与劲度系数为k的弹簧相连，平衡时水平杆处于水平位置．试求杆作微小摆动时的周期． P122 7-1 解：设平衡时弹簧伸长
由y方向的振动得
y?3cos?tcos??3sin?tsin??(35)xcos??3sin?tsin?
也
可写成 x0，∵细杆系统O的对合外力矩为零，有
kx0l?mgl2
[(y3)?(x4)cos?]sin???sin?tl ② 将式①和式②平方后相加，有 kO当细杆摆到任意角度
?位置时，弹簧的伸长量为
x2[(y3)?(x4)cos?]2??1225sin?M?mg(l2)cos??2mgsin??k(x0?x)lcos?
②
∵摆动幅度微小， ∴
x0?x，细杆系统所受合外力矩为
2lx?l?，
cos?1，
式中
cos??815，
题7-14图
sin???，
以上各式与式①一同代入式②，有
sin2??161225，代入上式并化简，
2得
合
振
动
的
轨
迹
方
程
M??(2mgl?kl)?
由
刚
体
的
定
轴
转
动
定
律
，
有
9x2?16xy?25y2?161 2Jd???(2mgl?kl2)?
2dt细
杆
对
O
的
总
转
动
惯
量
为
该轨迹为斜椭圆，如图所示．
kl?OJ?ml3?(2m)(2l)3?3ml222mg
?2l∴细杆作微小摆动的微分方程为
d2??2mg?kl??0 dt23ml角频率为
2mg??2mg?kl3ml， 周期为
T?2π
3ml2mg?kl
*7-15 设有两个相互垂直的同频率谐振动
x?5cos? t 和
，其中y?3cos(? t??)??arccos(815)．求合振动的轨迹． P144 7.26 解：
由x方向的振动得
x5?cos?t ①
11
作业9 光的干涉
9-1 两束平面相干光都以光强
I平行地照射到某一表面上，两光
合成可能达到的最大强度是 4I ．
9-2 在双缝干涉实验中，光的波长为600 nm，双缝间距为2 mm， 双缝与屏的间距为3.00 m，在屏上形成干涉图样的明条纹间距为 0.9 mm．
解：双缝干涉相邻明条纹间距为
?x?D?d
9-3 在真空中波长为
?的单色光，在折射率为n的透明介质中从
A沿某路径传播到B．若A、B两点相位差为3π，则此路径
AB的光程差为 1.5? ．
9-4 在双缝干涉实验中，入射光的波长为
?，用透明玻璃纸遮住
双缝中的一个缝，若玻璃纸中光程比相同厚度的空气的光程大 2.5
?， 则屏上原来的明纹处变为
暗纹 ．（填明纹、暗纹、无法确定）．
9-5 在双缝干涉实验中，用汞弧灯加上绿色滤波片作光源，两缝间距为0.6 mm, 在2.5 m远处的屏幕上出现干涉条纹，测得相邻两明纹中心距离为2.27 mm．求入射光的波长．
解：相邻两条纹的间距
?x?D?d
???x?dD2.27?10?3?0.6?10?3?2.5
=?5.448?10?7m?544.8nm
9-6 如图所示，在双缝干涉实验中入射光的波长为550 nm，用一厚度为
e?2.85 μm的透明薄片盖住S1缝，
发现中央明纹移动了3个条纹，上移至O?点，求透明薄片的折射率． 解：当透明薄片盖住一条缝时，光程差将增加
ne?e?(n?1)e ，正是这一附加光程差使中央明纹移
动到原来3级明纹的位置，
即
(n?1)e?3?，
3?3?5.50?10?7n?e?1?2.85?10?6?1?1.58
S1 r1O?S rO2S2 D题9-6图 12
9-9 一束波长为
或“暗”）．
?的单色平行光垂直照射在薄膜上，经上、下两
，则两束反射光的光程差
解：在接触点
P，
表面反射的两束光发生干涉，如图所示，薄膜厚度为e． ⑴ 若n1
?n?n
2
e?0．在左半边上下表
面反射光均有半波损，光程差为0，为明纹．而在右半边，仅上表面反射光有半波
n1 ? 3
?? n2 e 题9-9图
2n2e??2 ；
⑵ 若
n3 n1?n2?n3，则两束反射光的光程差??
损,光程差为?2,为暗
2n2e ．
解：⑴ n1
?n2
?n3
，上表面反射光1有半波损，下表面反射光2
没有半波损，
故两束反射光程差为
??2n2e??2
⑵ 若n1?n2?n3，上、下两表面反射光均有半波损，
光程差为
??2n2e
9-10 一束波长为
?的单色光由空气垂直入射到折射率为n的透
明薄膜上，透明薄膜放在空气中，要使反射光得到干涉加强，则
薄膜的最小厚度为 ?4n ．
解：上表面反射光有半波损，下表面反射光没有半波损，光程差为 ??2ne??2
干涉加强条件为
??2ne??2?k? 取
k?1，e最小??4n
9-11 将单色光垂直照射在空气劈尖上，若将整个劈尖装置由空气放入水中，观察劈尖条纹的变化为 变窄 （填“变窄”或“不变”或“增大”）．
解：由劈尖条纹间距公式
?l??2n2?，劈尖由空气放入水中
n2增大，?不变，∴
?l减小．
9-12 在图示的三种透明材料构成的牛顿环装置中，用单色光垂直
照射，在反射光中看到干涉条纹，则在接触点P附近形成的圆斑
为：右半部 暗 （填“明”或“暗”），左半部 明 （填“明”
纹.
9-13 如图所示，用波长为
?的单色光垂直照射折射率为n2的劈
尖膜（
n）观察反射光
n11?n2,n3?n2n2干涉，从劈尖顶开始，第2条明纹对应的薄膜
n3题9-13图
厚度为
e?___3?(4n2)____．
解：劈尖膜仅下表面反射光有半波损．∴
2n2e??2?2? 得 e?3?(4n2)
9-14 为了测量由两平板玻璃构成的空气劈尖的微小夹角,用波长为589 nm的平行光垂直照射空气劈尖,测得反射光的等厚干涉条纹
的间距
?l?4.0mm．⑴求劈尖的夹角；⑵接着在该空气劈
尖中充满待测液体，再测得干涉条纹间距?l??3.0mm,求液
体的折射率．
解：⑴ 劈尖等厚干涉条纹间距
?l??2n2sin?
空气劈尖
n2?1，劈尖的夹角一般很小，
??sin???l?589?10?92?1?4.0?10?7.37?10?62n?32?rad ⑵ 充液后
?l??3.0mm ，但?和?都保持不变，设
待测液体的折射率为
n?2，则 13 P题9-12图
?sin?)n2?l??/(2n2????l?/(2n2sin?)n2
??n2n2?l4.0?1??1.33 ?l?3.0
4?1.33?380?674nm（红
2?2?14?1.33?380色），?2??404nm（紫色）所
2?3?1相应波长为
?1?以肥皂水膜表面呈紫红色．
9-15 牛顿环装置中平凸透镜的曲率半径R = 2.00 m，垂直入射的光波长
??589.29 nm，让折射率为n = 1.461的液体充满
平凸透镜和平板玻璃之间形成的环形薄膜间隙中．求：⑴ 充以液体前后第10暗环条纹半径之比是多少？⑵ 充液之后此暗环的
9-17 在折射率
半径（即第10暗环的r10）为多少？ 解：⑴ 第K条暗环半径为
∴
n3?1.52的照相机镜头表面镀有一层折射率
MgF2增透膜，若此膜可使波长
n2?1.38的
解：1??550nm
rK?kR?n的光透射增强，问此膜的最小厚度为多少？
n?n2?n3，上、下两表面反射光均有半波损，光程差
rk空气?rk液体n液?n气为
??2n2e
为使给定波长的透射光增强，要求该波长光反射光干涉相消，
n液?1.461?1.21
应满足条件
即由空气到液体牛顿环半径变小，条纹向中
心收缩．
取
⑵
2n2e?(2k?1)?2
k?0，对应膜的最小厚度
r10?mm
KR?10?2.00?589.29?10?n液1.461?9?2.84emin??4n2?550?99.4nm
4?1.389-18 在迈克尔逊干涉仪的一条光路中，放入一折射率为
n1，厚
度为d的透明薄片，放入后，这条光路的光程改变了
9-16 白光垂直照射到空气中一厚度为380 nm的肥皂水膜上，问肥皂水膜表面呈现什么颜色？（肥皂水的折射率看作1.33）． 解：从肥皂膜两表面反射的两条光线的光程差
2(n?1)d ．
作业11 光的偏振
??2ne??2，
当
11-1 一束部分偏振光由自然光和线偏振光相混合而成，使之垂直通过一检偏器．当检偏器以入射光方向为轴进行旋转检偏时，测
??2ne??2?k?，k?1,2,3,?时，反
得透过检偏器的最大光强为I1，最小光强为I2，如果所用检偏器在其透光轴方向无吸收，则入射光中自然光的强度 为 2I2 ；线偏振光的强度为 I1 - I2 ． 原23-3题
11-2 两偏振片的偏振化方向的夹角由45o转到60o，则转动前后透过这两个偏振片的透射光的强度之比为 2 ．
4ne射光最强，解得相应波长 ?＝，
2k?1已知n?1.33，e?380nm，在白光范围400 ~ 760
nm内，
k只能取k1?2和k2?3，
14
原23-5题，解：
I1?(I02)cos245?，
⑴如图(a)示，P1、P3正交有
??60??30??90?
??60??30??30?
P1I2?(I02)cos260?，??
11-3 一束光强为I0的自然光光波，通过三个偏振片P1，P2，P3后，出射光强为
I3?(I02)cos290??0
⑵如图(b)示， P1与P3夹角为
有
I?I08．已知P和P偏振化方向相互垂直，
1
3
若以入射光为轴转动P2，使出射光强为零，P2最少要转动角度为 I3?(I02)cos30??3I082?P245° ． 解：自然光
I0通过P1光强为I?I02；通过P2光强为
(I02)cos2?；
再
通
过
P3光强为
(I02)cos2??cos2(90???)?I08．算得
??45?
若以入射光为轴，转动P2使出射光强为零，P2最少要转动角度为45o.
11-4 要使一束线偏振光通过偏振片后振动方向转过
90?，至少
需要让这束光通过__2__块理想偏振片，在此情况下，透射最大光强是原来光强的__1/4__倍． 解：至少需
2
块．线偏振光
I0通过
P1光强
I1?I0cos2?，
通
过
P2光强
I2?I21c(?2?o?)s?I20c?s2o??1iI240s2?ni ∴
nI1max?4I0 11-5 光强度为I0的自然光投射到一组偏振片上，它们的偏振化方向的夹角是：P2与P3为
30?、P2
与P1
为60?．则透射光的
光强为多大？将P2拿掉后又是多大？ 解：如图(a)示，通过第一偏振片P1后光强为I02
通过第二偏振片P2后光强为(I202)cos60?
通
过
第
三
偏
振
片
P3
后
光
强
为
I3?(I02)cos260?cos230??3I032
去掉第二偏振片P2后有两种情况：
P3I0?P1P2P1P260?30?P3P115
30?P3图(a)
30?P2
11-8 当一束自然光在两种介质分界面处发生反射和折射时，若反射光为完全偏振光，则折射光为 部分偏振 光，且反射光和
折射光之间的夹角为 90° ．
11-9 一束自然光自空气射入一块平面玻璃上（如图所示），设入射角等于布儒斯特角i0，则在界面2的反射光是 振动方向⊥入射面的线偏振 光． 原23-2题
11-10 自然光以55°角从水中人射到另一种透明媒质表面时，其反射光为线偏振光，已知水的折射率是1.33，则上述媒质的折射率为 1.9 ；透入到媒质的折射光的折射角是 35° ． 原23-1题
11-11 某种透明媒质对于空气的全反射临界角为45°，光从空气射向此媒质的布儒斯特角为 54.7° ． 解：若临界角为
?，由反射定律
sin??1n，∴
n?1sin45??2
再由布儒斯特定律
tanib?n1，∴
i?1b?tann?54.7?
11-12 水的折射率为1.33，玻璃折射率为1.50，当光由水中射向玻璃而反射时，起偏振角为多少？当光由玻璃射向水面反射时，起偏振角又为多少？
解： 设水的折射率为n1，玻璃的折射率为n2，当光由水射向玻
璃反射时，
由布
儒
斯
特
定
律
tanin0?2n，
1in0?arctan2n?48?26?
1若光由玻璃射向水面被反射，则起偏角为
i??arctann10n?41?34? 2
11-13 晶体内不发生双折射的方向 称
为晶体
的光轴；
I 主平面
题11-6图 由
i01 光线与光轴 2 构成． （原23-7
题11-9图 题）
11-14 主折射率为no=2.0，ne=1.5的单轴晶体，一平面单色自然光由空气入射到晶体表面，光轴方位以及入射光的方向分别如图(a)、(b)、(c)、(d)所示．试用惠更斯作图法分别画出这四种情形中o光和e光的光路及振动方向．
解：
?o?cno?c2B，
c?t?e?cne?2c3
DA(a)作图步骤：① ?o?t作AB⊥BD，令
O光轴 BD?c?t，
?e?tE② 在晶体内以Aeoeo点为圆心，作半径
为
题11-14图(a)
?o?t?BD2的半圆，及半长轴为
?e?t?2BD3，半短轴为
?o?t?BD2的半椭圆，两者相切于光轴处．
③ 自D点引半圆的切线，切点为O点，连接AO并延长即为o光光线；
④ 自D点引半椭圆的切线，切点为E点，连接AE并延长即为e光光线；
⑤ o光振动⊥o主平面，为“●”振动；e光振动在e主平面内，为“—”振动．
⑥ 由晶体出射的所有光线均与入射光线平行.
16
(b)作图步骤：
① 在晶体内分别以A点和D点为圆心，作半径为
?o?t（可任取）的半圆，及半长轴为?e?t?4?o?t3，半短轴为?o?t的
半椭圆，两者相切于光轴处．
AB?o?tO光轴 eo② 作两半圆的公切线，切点为O，连接AO并延长即为o光光线； ③ 作两半椭圆的公切线，切点为E，连接AE并延长即为e光光线； ?e?tEeo④ o光振动⊥o主平面，为“●”振动；e光振动在e主平面内，为“—”振动．
⑤ 由晶体出射的所有光线均与入射光线平行．
(c)作图步骤：① 作AB⊥BD，令
BD?c?t,
② 在晶体内以A点为圆心，分别作半径为
?o?t?BD2和
?e?t?2BD3的半圆.
③ 自D点引半圆的切线，切点为O点，连接AO并延长即为o光光线；
④ 自D点引半椭圆的切线，切点为E点，连接AE并延长即为e光光线；
⑤ o光振动⊥o主平面（o光线与光轴组成的面），为“—”振动；e光振动在e主平面（e光线与光轴组成的面）内，为“●”振动． ⑥ 由晶体出射的所有光线均与入射光线平行．
(d)作图步骤：① 作AB⊥BD，令
BD?c?t，
② 在晶体内以A点为圆心，作半径为?o?t?BD2的半圆，及半长轴为?e?t?2BD3，半短轴为?o?t?BD2的半椭圆，两者相切于光轴处．
③ 自D点引半圆的切线，切点为O点，连接AO并延长即为o光光线；
④ 自D点引半椭圆的切线，切点为E点，连接AE并延长即为e光光线；
⑤ o光振动⊥o主平面，为“●”振动；e光振动在e主平面内，为“—”振动．
⑥ 由晶体出射的所有光线均与入射光线平行．
题11-14图(b)
Bc?tD?Ao?tO? e?tE∷光轴oeoe题11-14图(c)
Bc?tD?o?tAOE?e?t光轴 oeoe题11-14图(d) 17
*11-15 如图所示的渥拉斯顿棱镜用方解石（no=1.6584，ne=1.4864）制成，并且顶角
??45?．⑴ 试求当一束自然光垂直入射
时，从棱镜出射的两束线偏振光的夹角，并示意画出光路及偏振态．⑵ 若渥拉斯顿棱镜改用石英（no=1.54424, ne=1.55335）制成，求两线偏振光的夹角． 解：
∵两块棱镜的光轴垂直，∴在界面AC处，ｏ光和ｅ光发生了转化． 而且在第二棱镜中两光均遵从折射定律．
∵
no?ne，∴垂直振动是光密→光疏，光线远离法线；而
平行振动是光疏→光密，光线靠近法线；当两光线出晶体时，均是光密→光疏，均远离法线 ．
AC面上
nosin45??nesin?1 ①
nesin??nosin?2 ②
CD面上
nesin?1?45??sin?1 ③
nosin?2?45??sin?2 ④
???1??2 ⑤
⑴ 将 no=1.6584, ne=1.4864 代入上述式子，可求得：
?1?52.086°，
?2?39.329°；
?1?10.566°，
?2?9.432°
；??19.998° = 20°0′ ⑵ 将 no=1.54424, ne=1.55335 代入上述式子，可求得：
?1?44.665°，
?2?45.339°；
?1?0.520°，
?2?0.524°
；??1.044° = 1°2.6′ B 光轴 C
自然光 A ?光轴 D 题11-15图
B 光轴 C o光 e光 自然光 e光 o光 A ?光轴 D B光轴 C45???1??12?A?光轴 2D18