【分析】（1）由旋转可得：AC=A'C=2，进而得到BC=得cos∠A'CB=

=

，依据∠A'BC=90°，可

，即可得到∠A'CB=30°，∠ACA'=60°；

BC=，依

（2）根据M为A'B'的中点，即可得出∠A=∠A'CM，进而得到PB=据tan∠Q=tan∠A=

，即可得到BQ=BC×

=2，进而得出PQ=PB+BQ=； ，即可得到S四边形PA'B′Q最小，即S△PCQ

（3）依据S四边形PA'B′Q=S△PCQ﹣S△A'CB'=S△PCQ﹣最小，而S△PCQ=PQ×BC=S四边形PA'B′Q=3﹣

．

PQ，利用几何法或代数法即可得到S△PCQ的最小值=3，

【解答】解：（1）由旋转可得：AC=A'C=2， ∵∠ACB=90°，AB=∴BC=

，

，AC=2，

∵∠ACB=90°，m∥AC， ∴∠A'BC=90°， ∴cos∠A'CB=∴∠A'CB=30°， ∴∠ACA'=60°；

=，

（2）∵M为A'B'的中点， ∴∠A'CM=∠MA'C， 由旋转可得，∠MA'C=∠A， ∴∠A=∠A'CM， ∴tan∠PCB=tan∠A=∴PB=

BC=，

， ，

∵tan∠Q=tan∠A=

∴BQ=BC×=2，

∴PQ=PB+BQ=；

（3）∵S四边形PA'B′Q=S△PCQ﹣S△A'CB'=S△PCQ﹣∴S四边形PA'B′Q最小，即S△PCQ最小， ∴S△PCQ=PQ×BC=

PQ，

，

法一：（几何法）取PQ的中点G，则∠PCQ=90°， ∴CG=PQ，即PQ=2CG， 当CG最小时，PQ最小，

∴CG⊥PQ，即CG与CB重合时，CG最小， ∴CGmin=

，PQmin=2

，

；

∴S△PCQ的最小值=3，S四边形PA'B′Q=3﹣法二（代数法）设PB=x，BQ=y， 由射影定理得：xy=3， ∴当PQ最小时，x+y最小，

∴（x+y）2=x2+2xy+y2=x2+6+y2≥2xy+6=12， 当x=y=∴PQ=

+

时，“=”成立， =2

，

．

∴S△PCQ的最小值=3，S四边形PA'B′Q=3﹣

【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质，解直角三角形以及直角三角形的性质的综合运用，解题时注意：旋转变换中，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．

28．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以直线x=对称轴的抛物线

y=ax2+bx+c与直线l：y=kx+m（k＞0）交于A（1，1），B两点，与y轴交于C（0，5），直线与y轴交于点D． （1）求抛物线的函数表达式；

（2）设直线l与抛物线的对称轴的交点为F，G是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若

=，且△BCG与△BCD面积相等，求点G的坐标；

（3）若在x轴上有且仅有一点P，使∠APB=90°，求k的值．

【分析】（1）根据已知列出方程组求解即可；

（2）作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，求出直线l的解析式，在分两种情况分别分析出G点坐标即可；

（3）根据题意分析得出以AB为直径的圆与x轴只有一个交点，且P为切点，P为MN的中点，运用三角形相似建立等量关系列出方程求解即可．

【解答】解：（1）由题意可得，，

解得，a=1，b=﹣5，c=5；

∴二次函数的解析式为：y=x2﹣5x+5，

（2）作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，

则

，

∵MQ=， ∴NQ=2，B（，∴

，

）；

解得，，

∴同理可求，

，D（0，），

，

∵S△BCD=S△BCG，

∴①DG∥BC（G在BC下方），∴解得，∵x＞， ∴x=3， ∴G（3，﹣1）．

②G在BC上方时，直线G2G3与DG1关于BC对称， ∴∴解得，∵x＞， ∴x=∴G（

， ，

），

=

2

，

=x2﹣5x+5， ，x2=3，

，

=x﹣5x+5，

，

，

综上所述点G的坐标为G（3，﹣1），G（（3）由题意可知：k+m=1， ∴m=1﹣k， ∴yl=kx+1﹣k， ∴kx+1﹣k=x2﹣5x+5， 解得，x1=1，x2=k+4， ∴B（k+4，k2+3k+1）， 设AB中点为O′， ∵P点有且只有一个，

，）．

∴以AB为直径的圆与x轴只有一个交点，且P为切点， ∴O′P⊥x轴， ∴P为MN的中点， ∴P（

，0），

∵△AMP∽△PNB， ∴

，

∴AM?BN=PN?PM，

∴1×（k2+3k+1）=（k+4﹣∵k＞0， ∴k=

=﹣1+

．

）（

），

【点评】此题主要考查二次函数的综合问题，会灵活根据题意求抛物线解析式，会分析题中的基本关系列方程解决问题，会分类讨论各种情况是解题的关键．