人教版高中数学选修4-4同步练习及答案 下载本文

C.(5,0) D.(0,5)

x=sec φ,??3?x=3sec φ,x?2?y?2??解析 由?得?于是??-??=secφ-tanφ=1,

?3??4??y=4tan φy?

??4=tan φ,

2

2

即双曲线方程为-=1,

916焦点为F1,2(±5,0).故选C. 答案 C 二、填空题

??x=3t-2,

5.曲线?与x轴交点的坐标是______________. 2

?y=t-1?

x2y2

解析 将曲线的参数方程化为普通方程:(x+2)=9(y+1),令y=0,得x=1 或x=-5.

答案 (1,0),(-5,0)

??x=t,

6.点P(1,0)到曲线?(其中参数t∈R)上的点的最短距离为________.

?y=2t?

2

2

解析 点P(1,0)到曲线上的点的距离设为d, 则d=(x-1)+(y-0)=(t-1)+(2t) =(t+1)=t+1≥1.

所以点P到曲线上的点的距离的最小值为1. 答案 1 7.二次曲线?

?x=5cos θ,?

??y=3sin θ

2

2

22

2

2

2

2

(θ是参数)的左焦点的坐标是________.

解析 题中二次曲线的普通方程为+=1左焦点为(-4,0).

259答案 (-4,0)

??x=2pt,

8.已知曲线? (t为参数,p为正常数)上的两点M,N对应的参数分别为t1和t2,

??y=2pt2

x2y2

且t1+t2=0,那么|MN|=________.

解析 显然线段MN垂直于抛物线的对称轴,即x轴, |MN|=2p|t1-t2|=2p|2t1|=4p|t1|.

21

答案 4p|t1| 三、解答题

9.在椭圆x2+y2

1612

=1上找一点,使这一点到直线x-2y-12=0的距离的最小值.

?x=4cos θ,

解 设椭圆的参数方程为??y=23 sin θ,

d=

|4cos θ-43sin θ-12|5

=45

5|cos θ-3sin θ-3|

=45?5??2cos???

θ+π??3??-3?? 当cos???θ+π3???=1时,d45min=5,此时所求点为(2,-3).

10.已知点P(x,y)是圆x2

+y2

=2y上的动点, (1)求2x+y的取值范围;

(2)若x+y+a≥0恒成立,求实数a的取值范围.

解 (1)设圆的参数方程为???x=cos θ,

?

?

y=1+sin θ,2x+y=2cos θ+sin θ+1=5sin(θ+φ)+1 ∴-5+1≤2x+y≤5+1.

(2)x+y+a=cos θ+sin θ+1+a≥0.

∴a≥-(cos θ+sin θ)-1=-2sin??π?θ+4???-1,

∴a≥2-1.

分别为椭圆C:x2y2

11.(椭圆参数方程的应用)设F1、F2a2+b2=1 (a>b>0)的左、右焦点.(1)若椭圆C上的点A??3?1,2???

到F1、F2距离之和等于4,写出椭圆C的方程和 焦点坐标;

(2)设P是(1)中椭圆上的动点,求线段F1P的中点的轨迹方程. 解 (1)由椭圆上点A到F1、F2的距离之和是4, 得2a=4,即a=2.

又点A??3?1,2???

在椭圆上, 22

?32

因此1??2???

2

4+b2=1,得b=3,

于是c2

=a2

-b2

=1,所以椭圆C的方程为x2y2

4+3=1,

焦点坐标为F1(-1,0),F2(1,0).

(2)设椭圆C上的动点P的坐标为(2cos θ,3sin θ), 线段F1P的中点坐标为(x,y), 则x=2cos θ-13sin θ+02,y=2,

所以x+12y2=cos θ,3

=sin θ.

2

2

消去θ,得???x+12???

+4y3=1,这就是线段F1P的中点的轨迹方程.

第三节 直线的参数方程

一、选择题

1.若直线的参数方程为?

??

x=1+2t,?).?y=2-3t (t为参数),则直线的斜率为 ( A.2

3

B.-23

C.3

D.-32

2

解析 k=y-23t3

x-1=-2t=-2

. 答案 D

2.直线???x=-2+t,? (t为参数)被圆(x-3)2+(y+1)2

?

y=1-t=25所截得的弦长为( A.72 B.401

4 C.82

D.93+43

?x=-2+2

解析 ???x=-2+t,2t×

2??y=1-t???,

??y=1-2t×2

2

把直线???x=-2+t,22

?y=1-t代入(x-3)+(y+1)=25,

? ).

23

得(-5+t)+(2-t)=25,t-7t+2=0.|t1-t2|=(t1+t2)-4t1t2=41, 弦长为2|t1-t2|=82. 答案 C

1x=1+t,?2?3.直线? (t为参数)和圆x+y=16交于A,B两点,则AB的中点坐标为

2

2

2222

??y=-33+3

2

t ( ).

A.(3,-3)

B.(-3,3) C.(3,-3)

D.(3,-3)

解析 ???1+12t?2??+???-33+32t?2??=16, 得t2

-8t+12=0,t1+t2

1+t2=8,

t2

=4,

??x=1+12×4?x=3

中点为???y=-33+3??

?y=-3

.

2×4答案 D

4.过点(0,2)且与直线??x=2+t,

?y=1+3t(t为参数)互相垂直的直线方程为 ( ).

A.?

?x=3t?y=2+t

B.?

?x=-3t?y=2+t

C.?

?x=-3t3t?y=2-t

D.?

?x=2-?y=t

?x=2+t,

解析 直线??y=1+3t化为普通方程为y=3x+1-23,其斜率k1=3,

设所求直线的斜率为k,由kk3

?x=-3t,1=-1,得k=-3,故参数方程为??y=2+t (t为参数). 答案 B 二、填空题

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