§10.2 排列与组合

最新考纲 1.了解排列、组合的概念. 2.会用排列数公式、组合数公式解决简单的实际问题. 考情考向分析 以理解和应用排列、组合的概念为主，常常以实际问题为载体，考查分类讨论思想，考查分析、解决问题的能力，题型以选择、填空题为主，难度为中档.

1.排列与组合的概念

名称 排列 组合 2.排列数与组合数

(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用An表示.

(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用Cn表示. 3.排列数、组合数的公式及性质

mm定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列 合成一组 公式 n！m(1)An＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ ?n－m?！Ann?n－1??n－2?…?n－m＋1?n！(2)C＝m＝＝ Amm！m！?n－m?！mnm性质

(3)0！＝1；An＝n！ (4)Cn＝Cn；Cn＋1＝Cn＋Cn mn－mmmm－1n概念方法微思考

1.排列问题和组合问题的区别是什么？

提示 元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合.

2.排列数与组合数公式之间有何关系？它们公式都有两种形式，如何选择使用？ 提示 (1)排列数与组合数之间的联系为CnAm＝An.

mmm

(2)两种形式分别为：①连乘积形式；②阶乘形式.

前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证. 3.解排列组合综合应用问题的思路有哪些？

提示 解排列组合综合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手.“分析”是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决；“分步”就是把问题化成几个相互联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决.

题组一 思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( × ) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.( × ) (3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.( √ ) (4)(n＋1)！－n！＝n·n！.( √ ) (5)若组合式Cn＝Cn，则x＝m成立.( × ) (6)kCn＝nCn－1.( √ ) 题组二 教材改编

2.[P27A组T7]6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( ) A.144B.120C.72D.24 答案 D

解析 “插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A4＝4×3×2＝24.

3.[P19例4]用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为( ) A.8B.24C.48D.120 答案 C

解析 末位数字排法有A2种，其他位置排法有A4种， 共有A2A4＝48(种)排法，所以偶数的个数为48. 题组三 易错自纠

4.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( ) A.192种 C.240种

B.216种 D.288种

13

1

3

3

xmkk－1

答案 B

解析 第一类：甲在最左端，有A5＝5×4×3×2×1＝120(种)排法； 第二类：乙在最左端，甲不在最右端， 有4A4＝4×4×3×2×1＝96(种)排法. 所以共有120＋96＝216(种)排法.

5.为发展国外孔子学院，教育部选派6名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文，若每个国家至少去一人，则不同的选派方案种数为( ) A.180B.240C.540D.630 答案 C

C6C2C13

解析 依题意，选派方案分为三类：①一个国家派4名，另两个国家各派1名，有2·A3

A2＝90(种)；②一个国家派3名，一个国家派2名，一个国家派1名，有C6C3C1A3＝360(种)；C6C4C23

③每个国家各派2名，有3·A3＝90(种)，故不同的选派方案种数为90＋360＋90＝540.

A36.寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，

222

3213

411

4

5

E五个座位(一排共五个座位)，上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己

车票相符座位的坐法有______种.(用数字作答) 答案 45

解析 设5名同学也用A，B，C，D，E来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符的坐法，设

E同学坐在自己的座位上，则其他四位都不坐自己的座位，则有BADC，BDAC，BCDA，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA，共9种坐法，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法

有9×5＝45(种).

题型一 排列问题

1.用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有( ) A.96个 C.72个 答案 B

解析 根据题意知，要求这个五位数比20000大，则首位必须是2，3，4，5这4个数字中的一个，当首位是3时，百位数不是数字3，符合要求的五位数有A4＝24(个)；当首位是2，4，5时，由于百位数不能是数字3，则符合要求的五位数有3×(A4－A3)＝54(个)，因此共有54＋24＝78(个)这样的五位数符合要求.故选B.

4

34

B.78个 D.64个

2.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言.(用数字作答) 答案 1560

解析 由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A40＝40×39＝1560(条)留言.

3.6名同学站成1排照相，要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边，共有________种不同站法. 答案 480

解析 方法一 (位置优先法)先从其他5人中安排2人站在最左边和最右边，再安排余下4人的位置，分为两步：

第1步，从除甲外的5人中选2人站在最左边和最右边，有A5种站法； 第2步，余下4人(含甲)站在剩下的4个位置上，有A4种站法. 由分步乘法计数原理可知，共有A5A4＝480(种)不同的站法.

方法二 (元素优先法)先安排甲的位置(既不站在最左边又不站在最右边)，再安排其他5人的位置，分为两步：

第1步，将甲排在除最左边、最右边外的任意位置上，有A4种站法； 第2步，余下5人站在剩下的5个位置上，有A5种站法. 由分步乘法计数原理可知，共有A4A5＝480(种)不同的站法. 思维升华排列应用问题的分类与解法

(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.

(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法. 题型二 组合问题

15

5

1

24

4

2

2

例1男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名.现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？ (1)男运动员3名，女运动员2名； (2)至少有1名女运动员； (3)队长中至少有1人参加； (4)既要有队长，又要有女运动员. 解 (1)分两步完成：

第一步，选3名男运动员，有C6种选法； 第二步，选2名女运动员，有C4种选法.

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