第三章数系的扩充与复数的引入 3.1数系的扩充与复数的概念 第一课时，数系的扩充与复数的概念

一、课前准备

1．课时目标

⑴了解数系从自然数到有理数到实数再到复数扩充的基本思想； ⑵了解引进复数的必要性；

⑶理解复数的有关概念，掌握复数的代数表示； ⑷掌握复数相等的概念和复数的分类． 2．基础预探

⑴数系的扩充：自然数→__________→___________→_____________．

⑵我们把集合C=a?bia,b?R中的数，即形如__________的数叫做复数，复数通常用字母z表示，即z?a?bi(a,b?R)，这一表示形式叫做__________．其中__________叫做虚数单位，__________与__________分别叫做复数的实部与虚部．

⑶对于复数a?bi(a,b?R)，当且仅当__________时，它是实数；当__________时，叫做虚数；当__________时，叫做纯虚数．

⑷复数相等：a?bi=c+di(a,b,c,d?R)? ________．

⑸复数分成两类：__________和__________． ⑹复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间关系，如下：｛纯虚数｝_________｛虚数｝________｛复数｝；｛实数｝_________｛复数｝；｛实数｝｛虚数｝=_________． 【答案】⑴有理数 实数 复数 ⑵a?bi(a,b?R) 复数的代数形式 i a b

????⑶b?0 b?0 a?0且b?0 ⑷a?c且b?d⑸实数 虚数 ⑹??，?，?， ? 二、学习引领

1．为了解决?1有解这一问题，引进了新数i，这一新数i叫做虚数单位，规定：①它的平方等于

，即i??1；②i可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律

2仍然成立．这样，我们将数系由实数集扩充到了复数集．

2．对于复数的定义，特别要抓住a?bi这一标准代数形式以及a,b是实数这一限制条件，即在说复数a?bi时，一定有a,b?R，否则，不能说实部是a，虚部是b,复数的实部和虚部都是实数．

3．两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小．如果两个复数都是实数，就可以比较大小． 也只有当两个复数全是实数时才能比较大小．

4．复数与实数、虚数、纯虚数间的关系：通过对复数代数形式a?bi(a,b?R)中虚部与实部的限制得到实数、虚数、纯虚数．可见实数集、虚数集、纯虚数集均为复数集的真子集． 5．求解复数分类、两个复数相等问题时，常用待定系数法来处理．

三、典例导析

题型一 复数的基本概念 例1．下列命题中：

①两个复数不能比较大小；②若a?R，则(a?1)是i纯虚数；③若

(z1?z2)2?(z2?z3)2?0，则z1?z2?z3；④纯虚数集相对于复数集的补集是虚数．其中

正确命题的个数是（ ）

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

思路导析：根据复数的有关概念，逐一判断命题的真假．

解析：⑴对两个复数有可能为两个实数，此时是可以比较大小的；⑵若a??1，则(a?1)i不是纯虚数；⑶此命题在实数集中成立，若z1?z2?i,z2?z3??1，也满足此等式，但z1、

z2、z3不一定相等；⑷复数分成两类：实数与虚数，而虚数又分成虚数与纯虚数，故纯虚

数集的补集是虚数（a?0）集和实数集，可见①②③④均错误，故选A．

规律总结：对于概念辨析问题，一定要抓住概念的要害处进行判断，有时借助反例来判断一个命题是假命题．

【变式练习1】下列命题中正确的是：（ ） （A）若a,b?R，且a?b，则a?i?b?i （B）两个虚数不能比较大小 （C）若z?a?bi，则当且仅当a?0且b?0时，z为纯虚数 （D）x?yi?1充要条件是x?y?1．

题型二 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集的关系

a2?7a?6?(a2?5a?6)i(a?R)，求实数a分别取什么值时，z分别 例2已知复数z?2a?1为：⑴实数；⑵虚数 ；⑶纯虚数．

思路导析：根据复数z为实数、虚数、纯虚数的概念，利用他们的充要条件可分别求出相应的a的值．

2??a?5a?6?0,?a??1或a?6,解析：⑴当z为实数时，则?2∴?故当a?6时，z为实数．

??a??1,?a?1?0,2??a?5a?6?0,?a??1且a?6,⑵当z为虚数时，则有?2∴?∴a??1且a?6，

a??1,???a?1?0,故当a?(??,?1)(?1,1)(1,6)(6,??)时，z为虚数．

?a2?5a?6?0,?a??1且a?6,?⑶当z为纯虚数时，则有?a2?7a?6∴?

?0,?a?6,?2?a?1故不存在实数a使z为纯虚数．

规律总结：对于考查复数的分类问题，要紧紧抓住各概念特征属性，建立方程组（不等式组）来求解．同时要抓住一些隐含的制约条件，如分式的分母不能为零，对数的真数要非负等等．

22【变式练习2】设复数z?lg(m?2m?2)?(m?3m?2)i(m?R)，当m为何值时，z是：

⑴实数；⑵纯虚数． 题型三 复数的相等

例3 已知x,y?R，且满足(2x?1)?i=y?(3?y)i，求x,y． 思路导析：根据复数相等的定义，列出方程组解出即可． 解析：∵(2x?1)?i=y?(3?y)i，

5??2x?1?y,?x?,∴?解得?2

1??(3?y),???y?4.规律总结：两个复数相等时，应分清两复数的实部和虚部，然后让其实部和虚部分别相等，列出相应的方程组求解．本题利用复数相等实现了复数问题向实数问题的转化，体现了转化思想．

?(2x?1)?i=y?(3?y)i,【变式练习3】已知关于实数x,y的方程组?有实数解，求

(2x+ay)?(4x?y?b)i=9?8i,?实数a,b．

四、随堂练习

1．下列说法中正确的个数是（）

①实数是复数；②虚数是复数；③实数集和虚数集的交集不是空集；④实数集和虚数集的并集是复数集．

（A）1 （B）2 （C）3 （D）

2．已知复数z?(a?1)?i，若z是纯虚数，则实数a等于（） （A） 2 （B）1 （C）0 （D）?1

3．以3i?2的虚部为实部，以?3?2i的实部为虚部的复数是（ ）

（A）3?3i（B）3?i（C）?2?2i（D）2?2i 4．复数z??2?3i的实部是______，虚部是______． 23i，④i(2?3)，⑤3?i．其中为纯虚数的有25．已知下列各数：①?， ②i2，③?______，为实数的有______（请将你认为正确的数的序号填在横线上）．

226．已知x?y?2xyi=2i，求实数x,y的值．

五、课后作业

1．对于复数集C，实数集R，虚数集M，纯虚数集P，下列关系正确的是（ ）

（A）PR=C （B）(MR)TC（C）PM=? （D）MR=C

2．已知集合M?1,2,(m2?3m?1)?(m2?5m?6)i，N???1,3?，且M则实数m的值为（）

（A）4 （B）?1 （C）?1或4 （D）?1或6 3．以复数z?5???N??3?，

2i的虚部为虚部的纯虚数为_____________． 724．已知复数z?m?(m?1)i(m?R)满足z?0，则m?_____________．

25．已知复数z?m(m?1)?(m?2m?3)i，当实数m取什么值时，复数z是：⑴零；⑵纯

虚数；⑶z?2?5i． 6．关于x的方程3x?2ax?1?10i?ix?2ix2有实数根，求实数a的值． 2答案：

变式练习1．B 解：只有当复数为实数时，才可比较大小，可见A错，选项B正确；选项C少限制条件a,b?R；选项D错用了两个复数相等的条件，故选B．

2??m?2m?2?0,变式练习2．解：⑴要使z?R，则需?2解得m??1或m??2，

??m?3m?2?0,所以当m??1或m??2时，z为实数．

22??lg(m?2m?2)?0,?m?2m?2?1,⑵要使z为纯虚数，则需?2即?解得m?3．

??m??1且m??2,?m?3m?2?0,所以m?3时，z为纯虚数．