6.(2019·江苏·T 20)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M- 数列”. (1)已知等比数列{an}(n∈N)满足:a2a4=a5,a3-4a2+4a1=0,求证:数列{an}为“M- 数列”; (2)已知数列{bn}(n∈N)满足:b1=1,①求数列{bn}的通项公式;
②设m为正整数.若存在“M- 数列”{cn}(n∈N),对任意正整数k,当k≤m时,都有ck≤bk≤ck+1成立,求m的*
*
*
1
????
=
2????
?
2????+1
,其中Sn为数列{bn}的前n项和.
最大值.
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q, 所以a1≠0,q≠0.
??2??4=??5,??21??4=??1??4由{,
??3-4??2+4??1=0,得{????+4??
1??2-4??11=0,
解得{??=1??1,=2.
因此数列{an}为“M- 数列”. (2)①因为
1????
=
2?????
2????+1,所以bn≠0.
由b1
=2
2
1=1,S1=b1,得11???2
,则b2=2.
由122????
??=?????,得Sn=????+1??????+12(????+1-????), 当n≥2时,由b??n=Sn-Sn-1,得bn=??????+1?????-1??
??2(????+1-????)2(????-????-1)
,
整理得bn+1+bn-1=2bn.
所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列. 因此,数列{b*
n}的通项公式为bn=n(n∈N). ②由①知,b*
k=k,k∈N. 因为数列{cn}为“M- 数列”, 设公比为q,所以c1=1,q>0. 因为ck≤bk≤ck+1,
所以qk-1
≤k≤qk
,其中k=1,2,3,…,m. 当k=1时,有q≥1;
当k=2,3,…,m时,有??????
??????
??≤ln q≤??-1. 设f(x)=??????
1-??????
??(x>1),则f'(x)=??2. 令f'(x)=0,得x=e.
29
列表如下:
x f'(x) f(x) 因为
????22
(1,e) + ↗ <
????96
e 0 极大值 (e,+∞) - ↘ =
????86
=
????3, 3
所以f(k)max=f(3)=3. 取q=√3,当k=1,2,3,4,5时,
k
k-1
????3
3
??????
≤ln q, ??即k≤q,经检验知q≤k也成立. 因此所求m的最大值不小于5.
若m≥6,分别取k=3,6,得3≤q,且q≤6,从而q≥243,且q≤216, 所以q不存在.因此所求m的最大值小于6. 综上,所求m的最大值为5.
7.(2018·北京·文T15)设{an}是等差数列,且a1=ln 2,a2+a3=5ln 2. (1)求{an}的通项公式; (2)求????1+????2+…+??????.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d, ∵a2+a3=5ln 2.∴2a1+3d=5ln 2,
又a1=ln 2,∴d=ln 2.∴an=a1+(n-1)d=nln 2. (2)由(1)知an=nln 2. ∵??????=e
nln 2
3
5
15
15
=??????2=2,
n
??
∴{??????}是以2为首项,2为公比的等比数列. ∴????1+????2+…+??????=2+2+…+2=2-2.
2
n
n+1
∴????1+????2+…+??????=2-2.
n+1
8.(2018·上海·T 21)给定无穷数列{an},若无穷数列{bn}满足:对任意x∈N,都有|bn-an|≤1,则称{bn}与{an}“接近”.
(1)设{an}是首项为1,公比为2的等比数列,bn=an+1+1,n∈N,判断数列{bn}是否与{an}接近,并说明理由; (2)设数列{an}的前四项为a1=1,a2=2,a3=4,a4=8,{bn}是一个与{an}接近的数列,记集合M={x|x=bi,i=1,2,3,4},求M中元素的个数m:
30
1
*
*
(3)已知{an}是公差为d的等差数列.若存在数列{bn}满足:{bn}与{an}接近,且在b2-b1,b3-b2,…,b201-b200中至少有100个为正数,求d的取值范围. 【解析】(1)数列{bn}与{an}接近.
理由:由{an}是首项为1,公比为12
的等比数列, 可得a1n=
??-1,bn=a1
2
n+1+1=2??+1, 则|bn-a1
n|=|
12??+1-
2
??-1|
=|1-
12??|<1,n∈N*, 故数列{bn}与{an}接近;
(2)由{bn}是一个与{an}接近的数列,可得an-1≤bn≤an+1, 由数列{an}的前四项为a1=1,a2=2,a3=4,a4=8, 可得b1∈[0,2],b2∈[1,3],b3∈[3,5],b4∈[7,9].
b1与b2可能相等,b2与b3可能相等,但b1与b3不相等,b4与b3不相等, 集合M={x|x=bi,i=1,2,3,4}, M中元素的个数m=3或m=4.
(3)由{an}是公差为d的等差数列,若存在数列{bn}满足:{bn}与{an}接近,可得an=a1+(n-1)d. ①若d>0,取bn=an,可得bn+1-bn=an+1-an=d>0,
则b2-b1,b3-b2,…,b201-b200中有200个正数,符合题意; ②若d=0,取b1
n=a1-??, 则|b1
1*
n-an|=|??1-??
-??1|=??
<1,n∈N, 可得b1
1n+1-bn=?????+1>0,
则b2-b1,b3-b2,…,b201-b200中有200个正数,符合题意;
③若-2
b2-b1,b3-b2,…,b201-b200中没有正数,与已知矛盾. 故d≤-2不符合题意.
综上可得,d的取值范围是(-2,+∞).
31
9.(2018·江苏·T 20)设{an}是首项为a1,公差为d的等差数列,{bn}是首项为b1,公比为q的等比数列. (1)设a1=0,b1=1,q=2,若|an-bn|≤b1对n=1,2,3,4均成立,求d的取值范围;
(2)若a1=b1>0,m∈N,q∈(1, √2],证明:存在d∈R,使得|an-bn|≤b1对n=2,3,…,m+1均成立,并求d的取值*
??
范围(用b1,m,q表示).
【解析】(1)由条件知,an-1
n=(n-1)d,bn=2. 因为|an-bn|≤b1对n=1,2,3,4均成立, 即|(n-1)d-2n-1
|≤1对n=1,2,3,4均成立, 即1≤1,1≤d≤3,3≤2d≤5,7≤3d≤9,得75
3≤d≤2. 因此,d的取值范围为[7,532]. (2)由条件知,an-1
n=b1+(n-1)d,bn=b1q.
若存在d,使得|an-1
n-bn|≤b1(n=2,3,…,m+1)成立,即|b1+(n-1)d-b1q|≤b1(n=2,3,…,m+1), 即当n=2,3,…,m+1时,d满足????-1-2????-1
n-1b1≤d≤??-1b1.因为q∈(1,??
√2],则1 ≤2, 从而????-1-2????-1 ??-1b1≤0,??-1b1>0,对n=2,3,…,m+1均成立. 因此,取d=0时,|an-bn|≤b1对n=2,3,…,m+1均成立. 下面讨论数列{????-1-2????-1 ??-1}的最大值和数列{??-1}的最小值(n=2,3,…,m+1). ①当2≤n≤m时, ????-2????-1??-????-1)-????+2 ???-2 ??-1= ??????-????-??????-1+2 ??(??-1)= ??(????(??-1), 当1 ??时,有qn ≤qm ≤2,从而n(qn -qn-1 )-qn +2>0. 因此,当2≤n≤m+1时,数列{????-1-2 ??-1}单调递增, 故数列{????-1-2????-2 ??-1}的最大值为??. ②设f(x)=2x(1-x),当x>0时,f'(x)=(ln 2-1-xln 2)2x <0, 所以f(x)单调递减,从而f(x) 当2≤n≤m 时,??1 ????-1= ??(??-1)?? ≤ 21??(1-1??)=f(??)<1, ??-1因此,当 2≤n≤m+1时,数列{????-1 ??-1}单调递减, 故数列{????-1 的最小值为???? ??-1}??. 因此,d的取值范围为[ ??1(????-2)??,??1???? ??]. 32