身边的概率论与数理分析

学生：王天铄

机电工程学院 1108101班 1110810113

【摘要】概率论是一门很贴近生活的学科，日常生活中有很多现象都与概率论有关，当我们用概率论的眼光来看待这些问题时，往往更能看清这些现象的本质，能客观地看待这些现象，本文将通过举一些生活中常见的例子来说明概率论在日常生活中的应用。

【关键词】概率论；生活；应用

随着科学的发展,数学在生活中的应用越来越广，生活中数学无处不在。而概率作为数学的一个重要部分，同样也发挥着重要的作用，正如约瑟夫巴特勒所说，它是生活的真正指南。它不仅在科学技术，工农业生产和经济管理中发挥着重要作用，而且它常常就发生在我们身边出现在我们每个人的生活中，并对我们的生活产生影响。下面我们举几个日常生活中常见的问题来用概率论的眼光来看它们。

1.彩票中奖问题

就小学门口的学生彩票而言，面值0. 50 元，彩票中奖概率为0. 01，这里不考虑奖品等级，只考虑中奖与否对小学生们购买心理的影响。中奖概率为 1%，买了 100 张怎么都没有中，别人买10 张，怎么就中了呢? 抱有这样的心理，小学生们一发不可收拾，无端受了非法销售者的蛊惑。由于每次购买彩票是独立进行的。X 表示中奖次数，n表示购买次数，则 X: b( n，0. 01)。若取 n =100，至少一张中奖的概率可以用泊松分布来近似，P( X≥1) = 1－P( X = 0) = 1－0. 99100≈1－e－10，np→λ =10，即随着n的变化，可得表1。

由表可知，买100张的概率仅为0. 634 0，也就意味着未必中奖。买10张的概率0. 0956，接近0. 010，可用伯努利大数定律给出解释，即随着 n 的增大，事件A发生的频率是依概率收敛于概率的，误差仅为万分之四。注意: 买100张的概率并不是买10张的10倍。而在销售彩票现场，假设每人买10张，同一时间段内，购买彩票的人数很多，500张乃至600张以上是很容易实现的，于是至少一张中奖概率为0.9976，这就是为什么福彩总有人中巨奖，而自己不容易中奖的原因，同时说明在“小概率事件必然发生” 的名言中，n→∞ 的条件是不可或缺的。

2.保险的赔偿问题

设某保险公司里有2500个同一年龄的人参加了人寿保险，每个人在一年里死亡

的概率为 0.002，若每个人一年付12 元保险费，而在死亡后家属可以领取由保险公司支付的 2000元, 问保险公司每年盈利的概率是多少，且获利不少于10000元的概率是多少？乍一看，很难知道保险公司是否盈利，但经过计算就可以得知保险公司几乎是必定盈利的。设表示参保的 2500 人中一年内死亡的人数,则 X 可能的取值有 0, 1···2500，且 X 服从 B( 2500, 0. 200) 。用 A 表示保险公司盈利0 ,表示保险公司营利大于 10000 元，由题可知 A= { 2500×12- 2000X> 0}= {X< 15} , B= { 10< X< 15}。于是, 计算得:

iP(A)=P{X<15}=?C25000.002i0.9982500?i?0.999931

i?014iP(B)=P{10

i?1114以上结果表明，保险公司盈利的概率为 0.999931，而盈利在10000元以上的概率也有0. 98305。这也就说明了保险公司非常乐于开展保险业务的原因。

3.人际交往问题

生活中的交友是一项复杂的系统工程，很多因素直接或间接制约着其最终结果的准确性、稳定性和持久性。 按照钱学森先生的系统理论，有必要，并且是十分有必要用科学的、系统的和理性的手段研究其中的种种现象、问题，概括出一系列命题或者定律、定理，这对于提高交友成功率、提高全民素质都有着十分重要的意义。

认识、熟悉、成为朋友。初期，双方都对朋友有着无限的容忍力，极度放大对方的优点、忽视对方的缺点，然而，时间总会将两个人拉回现实，矛盾也难免产生。 于是怎么样衡量朋友在一起的质量就是一个重要的问题。这是我们可以引入“内心快乐感受”变量，用这个变量出现的频率来衡量朋友之间相处的快乐程度。显然，这个频率越高，就越快乐。对于这个频率的获得，需要日常的记录。 记录的标准可以用到模糊理论的原理，那样确立的标准无疑是精确的，但也不是一般人就能做得来的。于是采用非此即彼的方法是一个既方便又有较高近似程度的方法。

根据以上假设与分析，容易知道，内心快乐感受天数变量 X 服从二项分布，即 X～b(n,p)其中的p就是根据记录统计出的快乐频率，就是“快乐天数/总天数”，根据伯努利大数定理，记录天数越多，这个频率就越接近真实概率。根据“棣莫佛-拉普拉斯”中心极限定理，n 越大，二项分布就越接近正态分布，即 X～N(up,np(1-p))。应用这个定理的好处就是容易计算，有现成的表可查。不过也要注意应用条件：1.描述的随机现象只能有两种表现，非此即彼，也就是说不能有模糊概率出现。2.n 应该足够大，一般应该要大于30。 3.p不能太接近0或者 1这两个值。4.一般要求up、np(1-p)都要大于5。

实例：如一对朋友间采用民主集中制讨论后决定，双方的快乐频率是80%。 那么，我们根据概率知识可以知道，100 天内有 70-90 天时快乐的频率是服从均值 np=80，方差 np(1-p)=16 的正态分布。可以记为 N(80,16)。标准化，可以得到 p{70＜X＜90}＝0.987，也就是说，基本上可以保证100天内两个人有 70-90 天的快乐，这就可以了。同时利用同样的方法可以算出，希望 100 天中有80天以上是快乐的概率是0.5，可以预测，要求的时间比80多，概率会更加

小。也就是说再好的朋友,也不要指望相处的每天都快乐，那是小概率事件，乃至是不可能事件。磕磕碰碰实在正常不过，因此双方应该用一种理智的心态看待双方关系，不要因为一次不愉快就否定一切，那是不符合规律的，必然会受到规律的惩罚。

一位哲学家曾经说过：概率是人生的真正指南。也正如马克思所认为的，一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步。随着生产的发展和科学技术水平的提高，概率已渗透到我们生活的各个领域。众所周知的保险、邮电系统发行有奖明信片的利润计算、招工考试录取分数线的预测甚至利用脚印长度估计犯人身高等无不充分利用概率知识。总之，由于随机现象在现实世界中大量存在，概率必将越来越显示出它巨大的威力。应用概率论的知识善于捕捉生活现象中概率论的影子，将会使我们更加客观看待世界。 【参考文献】

[1]张芳. 日常生活中概率的应用[J].山西财经大学学报.2007.10(1):243-243. [2]蒋娟. 身边中的概率论与数理统计[J].高校论坛.2010(15):134-134. [3]王淑玲. 概率在我们的日常生活中的一些简单应用[J].2005(7):176-177.