二次根式的概念与性质

一、目标与策略

明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！

学习目标：

? 理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；理解并掌握下列结论：a?0(a?0)，

??a2?a(a?0)，

a2?a(a?0)，并利用它们进行计算和化简．

重点难点：

? 重点：a?0(a?0)；

? 难点：利用学习策略：

???a(a?0)，a?a(a?0)及其运用．

a?0(a?0)，?a??a(a?0)，a?a(a?0)解决具体问题．

a2222对于本节的学习，要着重从理解二次根式的概念入手，逐步深入，处理好以下三个方面： ? 把握二次根式有意义的条件及其性质． ? 理解二次根式与算术平方根的联系与区别．

? 逐步感受数系的变化，注重知识体系的纵横联系，养成严密的数学思想．

二、学习与应用

“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。

知识回顾——复习

学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

（一）平方根的概念：如果x2?a，那么 平方根．

（二）算术平方根的概念：一个正数的 叫做这个数的算术平方根．

（三）平方根的性质：一个正数有 个平方根，且它们是互为 ；0的平方根是 ；在实数范围内，负数 平方根．

知识要点——预习和课堂学习 认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。若有其它补充可填在右栏空白处。 知识点一：二次根式的概念 一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式，“为 ． 要点诠释： 二次根式的两个要素：①根指数为 ；②被开方数为 数． ”称知识点二：二次根式的性质 （一）a?............................(a?0)； （二）?a?2?............................(a?0)； ?............................(a?0)； (a?0)?............................2（三）a?|a|??（四）积的算术平方根的性质：ab?............................(a?0，b?0)； （五）商的算术平方根的性质：要点诠释： 二次根式a (a≥0)的值是非负数，其性质a?............................(a?0，b?0)． b??a2?a(a?0)可以正用亦可逆用，正用时去掉根号起到化简的作用；逆用时可以把一个非负数写成完全平方的形式，有利于在实数范围内进行因式分解． 知识点三：代数式 形如5，a，a+b，ab，，x3，a(a?0)这些式子，用基本的 （基st本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方）把 连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式(algebraic expression)． 经典例题-自主学习 认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反 三。若有其它补充可填在右栏空白处。 类型一：二次根式的概念 例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1、x(x>0)、x0、42、?2、1、x?y(x≥0，y≥0)． x?y”；第二，被开方数是正

思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“数或0． 解：

例2．当x是多少时，3x?1在实数范围内有意义？ 解：

总结升华： ． 举一反三：

【变式1】x 是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义？

2（1）(x?1)； （2）1x?1；

解：

【变式2】当x是多少时，2x?3+思路点拨：要使2x?3+2x+3≥0和

1在实数范围内有意义？ x?11在实数范围内有意义，必须同时满足2x?3中的x?11中的x+1≠0． x?1解：

类型二：二次根式的性质

例3．计算：

22（1）

?7?2 （2）??3? （3）?35?2 （4）??7???2?????2???（5）(ab)2(b≥0) （6）(35)2?(53)2

2思路点拨：我们可以直接利用?a??a(a≥0)的结论解题．

解：

举一反三： 【变式1】计算：

（1）?x?1?2(x?0)； （2）

?a2?2；

（3）

?a2?2a?1?2； （4）

?4x2?12x?9?2．

思路点拨：

（1）因为x≥0，所以x+1>0； （2）a2≥0；

（3）a2+2a+1=(a+1)2≥0；

（4）4x2-12x+9=(2x)2-2·2x·3+32=(2x-3)2≥0． 所以上面的4题都可以运用?a?2?a(a?0)的重要结论解题．

解：