大学物理学习题全解-赵近芳版(10-17章) 下载本文

式中Φ的单位为毫韦伯,t的单位为秒.求:

(1)在t = 2s时回路中的感生电动势为多少?

B (2)电阻上的电流方向如何?

[解答](1)将磁通量的单位化为韦伯得

Φ = (3t2 + 2t + 1)/103,

感生电动势大小为

ε = |dΦ/dt| = 2(3t + 1)/103. R -2

t = 2s时的感生电动势为1.4×10(V).

图16.7 (2)由于原磁场在增加,根据楞次定律,感应电流所产生的磁场的方向

与原磁场的方向相反,所以在线圈中感生电流的方向是逆时针的,从电阻的左边流向右边.

16.8 如图所示的两个同轴圆形导体线圈,小线圈在大线圈上面.两线圈的距离为x,设x远大于圆半径R.大线圈中通有电流I时,若半径为r的小线圈中的磁场可看作是均匀的,且以速率v = dx/dt运动.求x = NR时,小线圈中的感应电动势为多少?感应电流的方向如何?

[解答]环电流在轴线上产生的磁感应强度为

B ?0IR2, B?r 223/22(x?R)当x>>R时,磁感应强度为 B?2

?0IR22x3.

x I o R 图16.8

小线圈的面积为S = πr,通过的磁通量为

??BS???0IR2r22x3,

d?3??0IR2r2v当小线圈运动时,感应电动势为???, ?4dt2x23??0Irv当x = NR时,感应电动势为??.

2N4R2

感应电流的磁场与原磁场的方向相同,感应电流的方向与原电流的环绕方向相同.

16.9 如图所示,匀强磁场B与矩形导线回路的法线n成θ = 60°角,B = kt(k为大于零的常数).长为L的导体杆AB以匀速v向右平动,求回路中t时刻的感应电动势的大小和方向(设t = 0时,x = 0). n B A [解答]经过时间t,导体杆运动的距离为x = vt,

θ 扫过的面积为 S = Lx = Lvt,

L v 通过此面积的磁通量为 Φ = B·S = BScosθ = Lvkt2/2.

感应电动势的大小为 ε = dΦ/dt = Lvkt. D B 由于回路中磁通量在增加,而感应电流的磁通量阻碍原磁通量增加,其磁场

图16.9 与原磁场的方向相反,所以感应电动势的方向是顺时针的.

16.10 长为b,宽为a的矩形线圈ABCD与无限长直截流导线共面,且线圈的长边平行于长直导线,线圈以速度v向右平动,t时刻基AD边距离长直导线为x;且长直导线中的电流按I = I0cosωt规律随时间变化,如图所示.求回路中的电动势ε. A B [解答]电流I在r处产生的磁感应强度为B?穿过面积元dS = bdr的磁通量为

?0I, 2?rB rx x d??BdS??0Ibdr, 2?rdrx v bx C 穿过矩形线圈ABCD的磁通量为

D a 图16.10

?0Ibx?a1?0Ibx?a??dr?ln(), ?2?xr2?x回路中的电动势为

????Ib?bx?aavcos?td?x?adI11dx??0[ln()?I(?)]?00[?ln()sin?t?]. dt2?xdtx?axdt2?xx(x?a) 显然,第一项是由于磁场变化产生的感生电动势,第二项是由于线圈运动产生的动生电动势.

*

16.11 如图,一个矩形的金属线框,边长分别为a和b(b足够长).金属线框的质量为m,自感系数为L,忽略电阻.线框的长边与x轴平行,它以速度v0沿x轴的方向从磁场外进入磁感应强度为B0的均匀磁场中,B0的方向垂直矩形线框平面.求矩形线框在磁场中速度与时间的关系式v = v(t)和沿x轴方向移动的距离与时间的关系式x = x(t).

[解答]由于b边很长,所以线框只有右边在做切割磁力线的运动.当线框速度为v时,产生的动生电动势为 ε = B0av. y 当线框中的电流为i时,产生的自感电动势的大小为 B0 bx div0 ?L?L.

ax dt根据欧姆定律得 ε + εL = iR,由于不计电阻,所以有

B0av?Ldi?0. ① dtdvm, dto 图16.11

x 右边所受的力为 F = iaB0,根据牛顿第二定律得 iaB0?

didv?m2, ② dtdtd2v(aB0)2联立①和②式得微分方程 ?v?0,

dt2mL微分得 aB0这是简谐振动的微分方程,其通解为

2v?AcosaB0mLt?BsinaB0mLt.

aB0(?AsinaB0mLt?BcosaB0mLt),

当t = 0时,v = v0,所以A = v0.加速度at = dv/dt?mLaB0当t = 0时,at = 0,所以B = 0.速度方程为v?v0cost.

mL由于v = dx/dt,所以 x?vdt?v0cos??aB0mLttd?v0aBmLsin0t?C. aB0mLaB0mLsint. aB0mLa B 当t = 0时,x = 0,所以C = 0,所以位移方程为x?v0

16.12 如图所示的圆面积内,匀强磁场B的方向垂直于圆面积向里,圆半径R = 12cm,dB/dt = 10-2T·s-1.求图中a、b、c三点的涡旋电场为多少(b为圆心)?设ab = 10cm,bc = 15cm.

[解答](1)当点在磁场之中时,以b为圆心,以r为半径作一圆形环中,其周长为 C = 2πr, 面积为 S = πr2.

取环路的逆时针方向为正,根据右手螺旋法则,面积的法向方向垂直纸面向外。

r b R 图16.12

由于磁场增加,其变化率的方向与磁场方向相同,而感应电流的磁场与磁场增加的方向的方向相反,即垂直纸面向里,根据右手螺旋法则,涡旋电场的方向与环路方向相同,所以左边等于

?BE?dl??根据安培环路定理 ??Lk?S?t?dS,

r c 蜒?ELk?dl??LEkdl?Ek ?dl?Ek2?r.

L而磁感应强度的方向与面积的法向方向相反,所以右边等于

???BdBdB2?dS?dS??r. S?tdt?SdtrdB. 2dt因此涡旋电场为 Ek?对于a点,由于r = 0.1m,所以 Ek = 0.1×0.01/2 = 5×10-4(V·m-1). 对于b点,由于r = 0, 所以Ek = 0.

(2)当点在磁场之外时,以b为圆心,以r为半径作一圆形环路.根据安培环路定理

??Ek?dl???L左边的积分仍然为Ek2πr.由于半径R之外的磁感应强度及其变化率为零,所以右边的大小为πR2dB/dt,

?B?dS, S?tR2dB因此涡旋电场为 Ek?.

2rdt对于c点,由于r = 0.15m,R = 0.12m,所以Ek = (0.12)2×0.01/2×0.15 = 4.8×10-4(V·m-1).

16.13 两个共轴的导体圆筒称为电缆,其内、外半径分别为r1和r2,设电流由内筒流入,外筒流出,求长为l的一段电缆的自感系数(提示:按定义L = NΦ/I,本题中NΦ是图中阴影部分面积的磁通量).

[解答]在内外半径之间,磁感应强度的大小为 B = μ0I/2πr, r2 其中r是场点到轴线之间的距离,B的方向是以轴线为中心的同心圆. o r1 在r处取一长为l的面积元dS = ldr,通过面积元的磁通量为 dΦ = BdS,

r2总磁通量为 ???r1?0I?Ilrldr?0ln2, 2?r2?r1?I?I I l 电缆的自感系数为 L??0lr2ln. 2?r1L?0r2?ln. l2?r1图16.13

[讨论]电缆单位长度的自感系数为 L0?

16.14 两个共轴圆线圈,半径分别为R和r,匝数分别为N1和N2,两者相距L.设小线圈的半径很小,小线圈处的磁场近似地可视为均匀,求两线圈的互感系数.

[解答]设大线圈中通以电流I1,N1匝线圈形成的环电流在轴线上产生的磁感应强度为

B??0N1I1R22(L?R)223/2,

B r 小线圈的面积为 S = πr2,

大线圈通过一匝小线圈的磁通量为 ??BS???0N1I1R2r22(L2?R2)3/2??0N1N2I1R2r2在小线圈中产生的全磁通为 ?21?N2??, 223/22(L?R)互感系数为 M?,

I1 o R L ?21I1???0N1N2R2r22(L2?R2)3/2图16.14

2??0N1N2r[讨论]当两线圈相距很远时,L>>R,互感系数约为 M?2R.

16.15 两个共轴的长直螺线管长为L,半径分别为R1和R2,设R2 > R1;匝数分别为N1和N2.求两螺线管的互感系数.

[解答]设大螺线管中通以电流I2,在轴线上产生的磁感应强度为B = μ0n2I2 = μ0N2I2/L. 小螺线管的面积为 S = πR12,

大螺线圈通过一匝小螺线管的磁通量为 Φ = BS = πμ0N2I2R12/L,

在小线圈中产生的全磁通为 Φ12 = N1Φ = πμ0N1N2I2R12/L, 互感系数为 M = Φ12/I2 = πμ0N1N2R12/L.

16.16 一圆形线圈C1由50匝表面绝缘的细导线密绕而成,圆面积S = 2cm2,将C1放在一个半径R = 20cm的大圆线圈C2的中心,两线圈共轴,C2线圈为100匝.求:

I2 (1)两线圈的互感M; C2

-1

(2)C2线圈中的电流以50A·s的速率减少时,C1中的感应电动势为多少?

C1 [解答](1)设大线圈中通以电流I2,N2匝线圈形成的环电流在圆心产生的磁感应强度为 B = μ0N2I2/2R,

小线圈中的全磁通为 Φ12 = N1BS =μ0N1N2I2S/2R,

图16.16

互感系数为 M = Φ12/I2 = μ0N1N2S/2R= 4π×10-7×50×100×2×10-4/2×0.2=10-6π(H).

(2) C1中的感应电动势的大小为 ε = MdI2/dt = 10-6π×50 = 5×10-5π(V).

16.17 长直导线与矩形单匝线圈共面放置,导线与线圈的长边平行,矩形线圈的边长分别为a、b,它到直导线的距离为c(如图),当矩形线圈中通有电流I = I0sinωt时,求直导线中的感应电动势.

[解答]如果在直导线中通以稳恒电流I,在距离为r处产生的磁感应强度为

a B = μ0I/2πr.

在矩形线圈中取一面积元dS = bdr,通过线圈的磁通量为

I a?cb ?0Ibdr?0Iba?c, ??BdS??lnc 2?r2?c?S?c互感系数为 M??I??0ba?c. ln2?c图16.17

当线圈中通以交变电流I = I0sinωt时,直导线中的感应电动势大小为

??MdI?0ba?c?(ln)I0?cos?t. dt2?c

16.18 在长圆柱形的纸筒上绕有两个线圈1和2,每个线圈的自感都是0.01H,如图所示.求: (1)线圈1的a端和线圈2的a`端相接时,b和b`之间的自感L为多少? (2)线圈1的b端和线圈2的a`端相接时,a和b`之间的自感L为多a a` 少?

[解答](1)当线圈1的a端和线圈2的a`端相接时,在b和b`之间通以电流I,两个线圈产生的磁场方向相反,由于两个线圈是相同的,总磁场B = 0,所以磁场能量为零,自感L也为零.

b b` (2)当线圈1的b端和线圈2的a`端相接时,在a和b`之间通以电流

图16.18

I,两个线圈产生的磁场方向相同,由于两个线圈是相同的,总磁场为B = B1 + B2 = 2B1,磁场的能量为

B12B21Wm??dV?4?dV?4L1I2.

2?2?2VV2W自感系数为 L?2m?4L1=0.04(H).

I

16.19 两个线圈的自感分别为L1和L2,,它们之间的互感为M.将两个线圈顺串联,如图a所示,求1和4之间的互感;(2)将两线圈反串联,如图b所示,求1和3之间的自感.

[解答]两个线圈串联时,通以电流I之后,总磁场等于两个线圈分别产生的磁场的矢量和B = B1 + B2,磁场的能量为

1 2 3 a 4 Wm??VBdV2?2??VBBB?BdV??dV??12dV2?2??VV21221 2 3 4 b 图16.19