复变函数与积分变换试题与答案

一、填空（3分×10）

1．ln(?1?3i)的模 。

2．-8i的三个单根分别为： ， ， 。 3．Lnz在 的区域内连续。 4．f(z)?z的解极域为： 。 。

，幅角 5．f(z)?x2?y2?2xyi的导数f?(z)? 6．Res??sinz?,0?? 3z?? 。 7．指数函数的映照特点是： 。

8．幂函数的映照特点是： 。

9．若F(?)=F [f(t)]，则f(t)= F

?1 f[(?)] 。

10．若f（t）满足拉氏积分存在条件，则L [f(t)]=

。

二、判断题（每题2分，共20分，请在正确的题打“√”，错误的题后打“×”）

1．区域Im(z)＞0是无界的单连通的闭区域。（ ）

2．初等函数在其定义域内解析，可导。（ ）

3．解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的u(x,y)与v(x,y)互为共扼调和函数。（ ）

4．如果f(z)在zo解析，那么f(z)在zo连续。（ ） 5．如果f?(zo)存在，那么f(z)在zo解析。（ ） 6．如果zo是f(z)的奇点，那么f(z)在zo不可导。（ ） 7．如果u(x,y)，v(x,y)的偏导数存在，那么f(z)=u+iv可导。（ ） 8．每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛。（ ） 9．幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点。（ ）

10．在zo处可导的函数，一定可以在zo的邻域内展开成泰勒级数。（ ）

二、计算题(6分×4)

1．求p，m，n的值使得函数f(z)?my3?nx2y?i(x3?pxy2)为解析函数。

2．求u(x，y)=y3－3x2y与它的共扼调和函数v(x，y)构成的解析函数f(z)?u(x，y)?iv(x，y)

3.?|z|?4??

12???dz（积分沿正向圆周进行） ?z?1z?3?4．?|z|?2

zezdz（积分沿正向圆周进行） z2?1四、（5分）将下面函数在指定圆环内展为罗朗级数

f(z)?1

z(1?z) （1<|z|<+∞）

五、（5分）求把上半平面保形照为单位圆的分式线性函数。

六、解答题：

1．（5分）已知某函数的傅氏变换为F(w)??[?(w?w0)??(w?w0)]求该函数。

2．（5分）求函数(t?1)et的拉氏变换。

3．（6分）求方程：

y???2y??3y?e?t满足初始条件y?t?0?1，

yt?0?0的解。