北京市昌平区2019-2020学年高考适应性测试卷数学试题(1)含解析 下载本文

x2y2??1?y?0?. 其标准方程为c2a?c2?ca?c解法二:令P(acos?,bsin?),则sin??0.三角形PF1F2的面积:

S?11?2c?bsin???2c?2a??r, 22其中r为内切圆的半径,解得r?bc?sin?a?c?yI.

另一方面,由内切圆的性质及焦半径公式得:

?c?xI???xI?c??PF1?PF2?(a?ccos?)?(a?ccos?),

从而有xI?ccos?.消去θ得到点I的轨迹方程为:

x2y2??1?y?0?2. a?cc?c2a?c本题中:a?2,c?1,代入上式可得轨迹方程为:x?3y?1?y?0?.

2211111115.观察下列式子,ln2?,ln3??,ln4???,……,根据上述规律,第n个不等式

335357应该为__________.

111 【答案】ln?n?1????LL?352?n?1【解析】 【分析】

根据题意,依次分析不等式的变化规律,综合可得答案. 【详解】

11解:根据题意,对于第一个不等式,ln2?,则有ln?1?1??,

32?1?11111?,则有ln?2?1???,

32?2?135111111对于第三个不等式,ln4???,则有ln?2?1????,

352?3?1357对于第二个不等式,ln3?依此类推:

111第n个不等式为:ln?n?1????LL?,

352?n?1111故答案为ln?n?1????LL?.

352?n?1【点睛】

本题考查归纳推理的应用,分析不等式的变化规律.

16.函数f(x)=x2﹣xlnx的图象在x=1处的切线方程为_____.

【答案】x﹣y=0. 【解析】 【分析】

先将x=1代入函数式求出切点纵坐标,然后对函数求导数,进一步求出切线斜率,最后利用点斜式写出切线方程. 【详解】

由题意得f?(x)?2x?lnx?1,f?(1)?1,f(1)?1. 故切线方程为y﹣1=x﹣1,即x﹣y=0. 故答案为:x﹣y=0. 【点睛】

本题考查利用导数求切线方程的基本方法,利用切点满足的条件列方程(组)是关键.同时也考查了学生的运算能力,属于基础题.

三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.某生物硏究小组准备探究某地区蜻蜓的翼长分布规律,据统计该地区蜻蜓有A,B两种,且这两种的个体数量大致相等,记A种蜻蜓和B种蜻蜓的翼长(单位:mm)分别为随机变量X,Y,其中X服从正态分布N?45,25?,Y服从正态分布N?55,25?.

(Ⅰ)从该地区的蜻蜓中随机捕捉一只,求这只蜻蜓的翼长在区间?45,55?的概率;

2(Ⅱ)记该地区蜻蜓的翼长为随机变量Z,若用正态分布N?0,?0来近似描述Z的分布,请你根据(Ⅰ)

??中的结果,求参数?0和?0的值(精确到0.1);

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,从该地区的蜻蜓中随机捕捉3只,记这3只中翼长在区间?42.2,57.8?的个数为W,求W的分布列及数学期望(分布列写出计算表达式即可). 注:若X~N?,??2?,则P(??0.64??X???0.64?)?0.4773,P(????X????)?0.6827,

P(??2??X???2?)?0.9546.

【答案】(Ⅰ)0.4773;(Ⅱ)?0?50.0,?0?7.8;(Ⅲ)详见解析. 【解析】 【分析】

(Ⅰ)由题知这只蜻蜓是A种还是B种的可能性是相等的,所以

11P?45?t?55???P?45?X?55???P?45?Y?55?,代入数值运算即可;

2245?55?50.0,再结合(1)和题干备注信息可得(Ⅱ)可判断均值应为?0?245??0?0.64?0,55??0?0.64?0,进而求解;

(Ⅲ)求得P(42.2?T?57.8)?P(????T????)?0.6827,该分布符合二项分布,故W~B?3,0.6827?,列出分布列,计算出对应概率,结合E?W??np即可求解; 【详解】

(Ⅰ)记这只蜻蜓的翼长为t.

因为A种蜻蜓和B种蜻蜓的个体数量大致相等,所以这只蜻蜓是A种还是B种的可能性是相等的.

11所以P?45?t?55???P?45?X?55???P?45?Y?55?

2211??P?45?X?45?2?5???P?55?2?5?Y?55? 2210.954610.9546?????0.4773. 2222(Ⅱ)由于两种蜻蜓的个体数量相等,X,Y的方差也相等,根据正态曲线的对称性,可知

?0?45?55?50.0 25?7.8. 0.64由(Ⅰ)可知45??0?0.64?0,55??0?0.64?0,得?0?(Ⅲ)设蜻蜓的翼长为T,则P(42.2?T?57.8)?P(????T????)?0.6827.

kk3?k由题有W~B?3,0.6827?,所以P?W?k??C3?0.6827?0.317.

因此W的分布列为

W P 0 1 1C30.68271?0.31732 2 C320.68272?0.31731 3 3C30.68273 C300.31733 E?W??3?0.6827?2.0481. 【点睛】

本题考查正态分布基本量的求解,二项分布求解离散型随机变量分布列和期望,属于中档题

18.在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系;曲线C1的普通方

??x?3cos?.程为(x-1) +y =1,曲线C2的参数方程为?(θ为参数).

??y?2sin?2

2

(Ⅰ)求曲线C1和C2的极坐标方程: (Ⅱ)设射线θ=

?(ρ>0)分别与曲线C1和C2相交于A,B两点,求|AB|的值. 62222【答案】(Ⅰ)??2cos??0,2?cos??3?sin??6?0;(Ⅱ)|AB|?3?26 3【解析】 【分析】

(Ⅰ)根据??x?y,x??cos?,y??sin?,可得曲线C1的极坐标方程,然后先计算曲线C2的普

222通方程,最后根据极坐标与直角坐标的转化公式,可得结果. (Ⅱ)将射线θ=果. 【详解】

(Ⅰ)?x?1??y2?1?x2?y2?2x?0

222由??x?y,x??cos?,y??sin?

?分别与曲线C1和C2极坐标方程联立,可得A,B的极坐标,然后简单计算,可得结62所以曲线C1的极坐标方程为??2cos??0, 曲线C2的普通方程为2x?3y?6?0

则曲线C2的极坐标方程为2?cos??3?sin??6?0 (Ⅱ)令??222223???????(??0),则A??1,?,B??2,?,

6?6?6???3?22sin2则2?2cos22?6?6?6?0,即9?22?24,

所以|OB|??2??26,|OA|??1?2cos?3,

633?26. 3故|AB|?|OA|?|OB|?【点睛】

本题考查极坐标方程和参数方程与直角坐标方程的转化,以及极坐标方程中?的几何意义,属基础题. 19.已知函数f?x??x??a?2?x?alnx(a为实常数).

2(1)讨论函数f?x?在?1,e?上的单调性;

(2)若存在x?1,e,使得f?x??0成立,求实数a的取值范围. 【答案】(1)见解析(2)a??1 【解析】 【分析】

(1)分类讨论a的值,利用导数证明单调性即可;

(2)利用导数分别得出a?2,2?a?2e,a?2e时,f?x?的最小值,即可得出实数a的取值范围. 【详解】

2a2x??a?2?x?a?2x?a??x?1?(1)f'?x??2x??a?2???,x??1,e?. ?xxx??