浙师大11近世代数答案2 下载本文

近世代数习题解答 第二章 40

4.设B4={e,a,b,ab},由乘法表

e a b ab e a b ab e a b ab a e ab b b ab e a ab b a e

所定义的群叫做Klein四元群,或简称四元群。

(1) 找出B4的所有子群;

(2) 找出S4中与B4同构的子群。

解:(1) B4的所有子群为:

H1={e},H2=B4,H3={e,a},H4={e,b},H5={e,ab}。 B4共有五个子群。

(2) 由于两个同构的群所含元素的个数一样,在同构映射下相对应的元素的阶相等,所以,与B4同构的群含有4个元素,且除单位元外的其余3个元素都是2阶元。因为S4中2阶元有

(12),(13),(14),(23),(24),(34),

(12)(34),(13)(24),(14)(23),

再根据运算的封闭性我们可得S4中与B4同构的子群有

H1={(1),(12),(34),(12)(34)}, H2={(1),(13),(24),(13)(24)}, H3={(1),(14),(23),(14)(23)}, H4={(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}。

近世代数习题解答 第二章 41

5.找出S4中由(1234)生成的子群。

解:因为(1234)是一个4阶元,所以由它生成的子群为

n

H={(1234) | n∈Z}

234

={(1234),(1234),(1234),(1234)} ={(1234),(13)(24),(1432),(1)}。

6.证明Sn可以由集合{(12),(13),?,(1n)}生成,即任意一个n次置换σ都可用若干个上述集合中的对换来表示。

证明:由本节定理3及其推论可知Sn中的每一个置换都可以表示成若干个对换之积。由此,我们只需证明任意一个对换可用集合{(12),(13),?,(1n)}中的某些对换来表示即可。

任意给出一个对换( i j ),如果i,j中有一个是1,则( i j )就是所给集合中元素,结论正确。如果i,j都不是1,则有

( i j )= (1 i )(1 j )( 1 i )。

所以,任意一个n次置换σ都可用集合{(12),(13),?,(1n)}中的若干个对换来表示。

§2.6 子群的陪集

1.设H是G的子群,a,b∈G,证明以下六个条件是等价的:

-1-1

(1) ba∈H; (2) ab∈H; (3) b∈aH;

(4) a∈bH; (5) aH=bH; (6) aH∩bH≠υ。

解:(1) ? (2) 因为b-1a∈H,H是G的子群,则

近世代数习题解答 第二章 42

(b-1a)-1=a-1b∈H; -1-1

(2) ? (3) 由于ab∈H,则存在h∈H,使得ab=h,即

b=ah∈aH;

(3) ? (4) 因为b∈aH,则存在h∈H,使得b=ah,即

-1

a=bh∈bH;

(4) ? (5) 因为a∈bH,则存在h∈H,使得a=bh。 ?ah1∈aH,有

ah1=(bh)h1=b(hh1)∈bH,

即aH?bH。

反之,?bh2∈bH,有

bh2=(ah-1)h2=a(h-1h2)∈aH,

即bH?aH。所以, aH=bH;

(5) ? (6) a∈aH=aH∩bH≠υ;

(6) ? (1) 由于aH∩bH≠υ,则存在c∈aH∩bH,有

c∈aH 且 c∈bH,

则存在h,k∈H,使得c=ah=bk,即b-1a=kh-1∈H。

2.写出A4关于H={(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}的左陪集分解以及右陪集分解。

解:A4关于H的左陪集分解为

A4=H∪(123)H∪(132)H,

其中 H={(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)},

(123)H={(123),(134),(243),(142)}, (132)H={(132),(234),(124),(143)};

A4关于H的右陪集分解为

A4=H∪H(123)∪H(132),

近世代数习题解答 第二章 43

其中 H={(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)},

H(123)={(123),(243),(142),(134)}, H(132)={(132),(143),(234),(124)}。

3.证明素数阶群一定是循环群。

证明:设G是一个阶数为素数p的群,由于p≥2,则G中除单位元e外至少还有一个元a≠e,可知 | a |>1。由Lagrange定理的推论得:| a | 整除群G的阶p,由于p是素数,只有 | a |=1或p。所以,| a |=p。即由元素a生成的子群 (a) 包含p个元素,从而得G=(a),证得G是一个循环群。

4.证明p( p为素数,m≥1)阶群一定有一个p阶子群。

证明:设G是一个pm阶的群,那么,我们只需证明群G中存在p阶元。在G中任意取一个非单位元的元素a,则由Lagrange定理的推论得:| a | 整除群G的阶pm,由于p是素数,只有

| a |=pk (其中1≤k≤m)。 取b=a子群。

5.证明:若G为非交换群,则G中至少含有6个元素,从而说明S3是含有元素个数最少的不可交换群。

证明:当G是1阶群时,显然G是交换群;

当G是2阶,3阶,5阶群时,由于它们是素数阶群,由上面

pk?1m

∈G,则可知b的阶为p,得H=(b) 是一个G的p阶