(1) 证明：由题意得|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2. 又a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2－2a·b＝2， 即a·b＝0，故a⊥b.
(2) 解：因为a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)＝(0，1)，
?cosα＋cosβ＝0，?所以?由此得cosα＝cos(π－β)．
??sinα＋sinβ＝1.
由0＜β＜π，得0＜π－β＜π，又0＜α＜π，
5π1
故α＝π－β，代入sinα＋sinβ＝1，得sinα＝sinβ＝，而α＞β，所以α＝，β
26
π＝. 6
第4课时 复 数
1. (2014·广东)已知复数z满足(3＋4i)z＝25，则z＝________． 答案：3－4i
25（3－4i）25
解析：因为(3＋4i)z＝25，所以z＝＝＝3－4i.
3＋4i（3－4i）（3＋4i）
2. (2014·苏州期末)已知i为虚数单位，计算(1＋2i)(1－i)2＝__________． 答案：4－2i
解析：(1＋2i)(1－i)2＝(1＋2i)(－2i)＝－2i－4i2＝4－2i.
1＋3i
3. (2014·苏锡常镇一模)若复数z＝(i为虚数单位)，则|z|＝__________．
1－i
答案：5
|1＋3i|10
解析：等式两边取模得|z|＝＝＝5.
|1－i|2
4. (2014·山东)已知a、b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2
＝__________．
答案：3＋4i
解析：因为a－i与2＋bi互为共轭复数，所以a＝2，b＝1，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.
（i＋1）（i＋2）
5. (2014·如皋期末)计算：＝____________．
i＋3
34答案：＋i
55
1＋3i（1＋3i）（3－i）6＋8i34
解析：原式＝＝＝＝＋i.
10553＋i（3＋i）（3－i）
6. (2014·南京、盐城期末)若复数z＝(1＋i)(3－ai)(i为虚数单位)为纯虚数，则实数a＝__________．
答案：－3
解析：z＝3－ai＋3i－ai2＝(3＋a)＋(3－a)i，∴ a＋3＝0，a＝－3.
7. 若复数z满足|z－i|＝1(其中i为虚数单位)，则|z|的最大值为________． 答案：2
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则由|z－i|＝1，得x2＋(y－1)2＝1，由画图可知|z|的最大值为2.
8. 设复数z满足|z|＝|z－1|＝1，则复数z的实部为________.
1答案： 2
?a2＋b2＝1，
解析：设z＝a＋bi(a、b∈R)．∵ 复数z满足|z|＝|z－1|＝1，∴ ?
?（a－1）2＋b2＝1，
11
解得a＝.∴ 复数z的实部为.
22
9. 已知复数z的共轭复数是z－，且满足z·z －＋2iz＝9＋2i.求z. 解：设z＝a＋bi(a、b∈R)，则z －＝a－bi， ∵ z·z －＋2iz＝9＋2i，
∴ (a＋bi)(a－bi)＋2i(a＋bi)＝9＋2i， 即a2＋b2－2b＋2ai＝9＋2i，
22??a＋b－2b＝9，①∴ ? ?2a＝2.②?
由②，得a＝1，代入①，得b2－2b－8＝0， 解得b＝－2或b＝4.∴ z＝1－2i或z＝1＋4i.
z
10. 已知z是复数，z＋2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对
2－i
应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
解：设z＝x＋yi(x、y∈R)，
所以z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2.
x－2i1z11
因为＝＝(x－2i)(2＋i)＝(2x＋2)＋(x－4)i.
552－i2－i5
由题意得x＝4，所以z＝4－2i.
所以(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，
由于(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，
2
??12＋4a－a>0，所以?解得2 ?8（a－2）>0，? 故实数a的取值范围是(2，6)． 11. 已知复数z，且|z|＝2，求|z－i|的最大值，以及取得最大值时的z. 解：(方法1)设z＝x＋yi(x、y∈R)， ∵ |z|＝2，∴ x2＋y2＝4， |z－i|＝|x＋yi－i|＝|x＋(y－1)i|＝x2＋（y－1）2 ＝4－y2＋（y－1）2＝5－2y. ∵ y2＝4－x2≤4，∴ －2≤y≤2. 故当y＝－2时，5－2y取得最大值9，从而5－2y取得最大值3，此时x＝0，即|z－i|取最大值3时，z＝－2i. (方法2)类比实数绝对值的几何意义，可知方程|z|＝2表示以原点为圆心，以2为半径的圆，而|z－i|表示圆上的点到点A(0，1)的距离．如图，连结AO并延长与圆交于点B(0，－2)，显然根据平面几何的知识可知，圆上的点B到点A的距离最大，最大值为3，即当z＝－2i时，|z－i|取得最大值3.