?4x?4x3, 0?x?1,因此，（X，Y）关于X的边缘概率密度fX (x)＝?

其它.?0, 当y<0或y>1时，fY (y)＝0； 当0≤y≤1时，fY (y)＝

?????yf(x,y)dx??8xydx?4y?x2|0?4y3.

0y?4y3, 0?y?1,因此，（X，Y）关于Y的边缘概率密度fY (y)＝?

其它.?0, （2）因为f (1/2, 1/2)＝2，而fX (1/2) fY (1/2)＝(3/2)*(1/2)＝3/4≠f (1/2, 1/2)， 所以，X与Y不独立。

?7 6?六（1）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为??

6 9??求随机向量（X＋Y， X—Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解：D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=7+9+2*6=28

D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=7+9-2*6=4

Cov(X+Y, X-Y)= DX-DY =7-9= -2

?X?Y,X?Y?Cov(X?Y,X?Y)D(X?Y)D(X?Y)??228*4??128

??28 -2??1 所以，（X＋Y， X—Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 ?? 和 ?-2 4???-1-1?28?? ? 1???28??9 2?六（2）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为??

?2 1?求随机向量（X＋Y， X—Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解：D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=9+1+2*2=14

D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=9+1-2*2=6

Cov(X+Y, X-Y)= DX-DY =9-1=8

第25页，共38页

?X?Y,X?Y?Cov(X?Y,X?Y)D(X?Y)D(X?Y)?814*6?421

4???14 8?1 ?21?所以，（X＋Y， X—Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 ?? 和 ?? 8 6???4? 1???21? 9 －6?六（3）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为??－6 6??

求随机向量（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解：D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=9+6-2*(-6)=27

D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=9+6+2*(-6)=3

Cov(X-Y, X+Y)= DX-DY =9-6= 3

?(X?Y,X?Y)3X?Y,X?Y?CovD(X?Y)D(X?Y)?27*3?13

?27 3??所以，（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 ?1 ?3 3?? 和 ????1?3 1? 4 －5?六（4）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为??－5 9??

求随机向量（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解：D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=4+9-2*(-5)=23

D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=4+9+2*(-5)=3

Cov(X-Y, X+Y)= DX-DY =4-9= -5

?X?Y,X?Y)X?Y,X?Y?Cov(D(X?Y)D(X?Y)??5?523*3?69

??23 -5??所以，（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 ?1 ?-5 13?? 和 ???-5?69第26页，共38页

?1?3?? ???-5?69?? ??? 11?? 1 －六（5）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为??

－1 4??求随机向量（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解：D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=1+4-2*(-1)= 7

D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=1+4+2*(-1)=3

Cov(X-Y, X+Y)= DX-DY =1-4= -3

?X?Y,X?Y?Cov(X?Y,X?Y)D(X?Y)D(X?Y)??37*3??321

-3???7 -3??1 21?所以，（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 ?? 和 ?? -3 3???-3? 1??21??求随机向量（X＋Y， X—Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解：D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=5+4+2*2=13

D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=5+4-2*2=5

Cov(X+Y, X-Y)= DX-DY =5-4=1

?X?Y,X?Y?Cov(X?Y,X?Y)D(X?Y)D(X?Y)?113*5?165

七（1）、设总体X的概率密度函数是

??x??1, 0?x?1 f(x;a)???0, 其它其中??0为未知参数。x1, x2, ?, xn是一组样本值，求参数?的最大似然估计。

解：似然函数L???xii?1n??1???xii?1nn??1 lnL?nln??(??1)?lnx

ii?1n第27页，共38页

dlnLnn??? ???lnxi?0 ?d??i?1n?lnxi?1n

i

七（3）、设总体X的概率密度函数是

?2?xexp{??x2}, x?0 f(x)???0, 其它?>0为未知参数，x1,x2,x3,?,xn是一组样本值，求参数?的最大似然估计。

解：似然函数L??(2?xiexp{??xi})?(2i?1n2nnnn2nn??xiexp{???xi}) lnL?nln(2?)??lnxi???xi2

i?1i?1i?1i?1dlnLnn2?? ???xi?0 ?d??i?1n?xi?1n

2i 七（4）、设总体的概率密度函数是

?3?x2exp{??x3}, x?0f(x)??

?0, 其它其中?>0是未知参数，x1,x2,x3,?,xn是一组样本值，求参数?的最大似然估计。 解：似然函数L??(3?xexp{??xi})?(3i?1n2i3nnn2n3n2n??xiexp{???xi}) lnL?nln(3?)??lnxi???xi3

i?1i?1i?1i?1dlnLnn3?? ???xi?0 ?d??i?1n?xi?1n

3i 七（5）、设总体X服从参数为?的泊松分布P(?)??xx!e??（x=0，1， ?），其中??0为未知参数，x1,x2,x3,?,xn是一

组样本值，求参数?的最大似然估计。

解：似然函数L??n?xixi!i?1e????n?xii?1ne?n? lnL??xi!i?1?xln???ln(x!)?n?

iii?1i?1nn第28页，共38页