(2)两侧细绳的张力．

解: 设a1,a2和β分别为m1,m2和柱体的加速度及角加速度，方向如图(如图b)．

题2-26(a)图 题2-26(b)图

(1) m1,m2和柱体的运动方程如下：

T2?m2g?m2a2 ① m1g?T1?m1a1 ②

??T1R?T2r?I? ③

式中 T1??T1,T2??T2,a2?r?,a1?R? 而 I?由上式求得 ???Rm1?rm2I?m1R122212MR2?12mr

2?m2rg0.2?2?0.1?2?9.8

2?10?0.20?22?12?4?0.102?2?0.20?2?0.102?6.13rad?s (2)由①式

T2?m2r??m2g?2?0.10?6.13?2?9.8?20.8N

由②式

T1?m1g?m1R??2?9.8?2?0.2.?6.13?17.1N

2-27 计算题2-27图所示系统中物体的加速度．设滑轮为质量均匀分布的圆柱体，其质量为

M，半径为r，在绳与轮缘的摩擦力作用下旋转，忽略桌面与物体间的摩擦，设m1＝50

��kg，m2＝200 kg,M＝15 kg, r＝0.1 m

解: 分别以m1,m2滑轮为研究对象，受力图如图(b)所示．对m1,m2运用牛顿定律，有

m2g?T2?m2a ① T1?m1a ②

对滑轮运用转动定律，有

T2r?T1r?(12Mr)? ③

2又， a?r? ④ 联立以上4个方程，得

a?m2gm1?m2?M2?200?9.85?200?152?7.6m?s?2

题2-27(a)图 题2-27(b)图

题2-28图

2-28 如题2-28图所示，一匀质细杆质量为m，长为l，可绕过一端O的水平轴自由转动，杆于水平位置由静止开始摆下．求： (1)初始时刻的角加速度； (2)杆转过?角时的角速度. 解: (1)由转动定律，有

12?(ml)? 233g∴ ??

2lmg1(2)由机械能守恒定律，有

mgl2sin??112(ml)?232

∴ ??3gsin?l

题2-29图

2-29 如题2-29图所示，质量为M，长为l的均匀直棒，可绕垂直于棒一端的水平轴O无摩擦地转动，它原来静止在平衡位置上．现有一质量为m的弹性小球飞来，正好在棒的下端与棒垂直地相撞．相撞后，使棒从平衡位置处摆动到最大角度?? 30°处．�� (1)设这碰撞为弹性碰撞，试计算小球初速v0的值；�� (2)相撞时小球受到多大的冲量?��

解: (1)设小球的初速度为v0，棒经小球碰撞后得到的初角速度为?，而小球的速度变为v，按题意，小球和棒作弹性碰撞，所以碰撞时遵从角动量守恒定律和机械能守恒定律，可列式：

mv0l?I??mvl ① 12mv0?212I?2?12mv2

②

上两式中I?13Ml2，碰撞过程极为短暂，可认为棒没有显著的角位移；碰撞后，棒从竖直

o位置上摆到最大角度??30，按机械能守恒定律可列式：

12I?2?Mgl2(1?cos30?) ③

由③式得

11?3g3?2?Mgl?2???(1?cos30?)???(1?)?

2??I??l由①式

v?v0?I?ml ④

由②式

v2?v?20I?m2 ⑤

所以

(v0?I?ml)2?v0?21m?

2求得

v0?l?2(1?Iml2)?l2(1?1M3mgl)?

?6(2?1233m?Mm(2)相碰时小球受到的冲量为

?Fdt??mv由①式求得

?mv?mv0

?Fdt?mv?mv0??I?l??13Ml?

??6(2?63)Mgl

负号说明所受冲量的方向与初速度方向相反．

题2-30图

2-30 一个质量为M、半径为R并以角速度?转动着的飞轮 (可看作匀质圆盘)，在某一瞬时突然有一片质量为m的碎片从轮的边缘上飞出，见题2-30图．假定碎片脱离飞轮时的瞬时速度方向正好竖直向上．�� (1)问它能升高多少?��

(2)求余下部分的角速度、角动量和转动动能．�� 解: (1)碎片离盘瞬时的线速度即是它上升的初速度

v0?R?

设碎片上升高度h时的速度为v，则有

v2?v0?2gh

2令v?0，可求出上升最大高度为

H?v022g?12gR?

22(2)圆盘的转动惯量I?12MR2，碎片抛出后圆盘的转动惯量I??12MR2?mR，碎片脱

2离前，盘的角动量为I?，碎片刚脱离后，碎片与破盘之间的内力变为零，但内力不影响系统的总角动量，碎片与破盘的总角动量应守恒，即

I??I????mv0R