压轴题:动点中的相似问题练习(含答案) 下载本文

编辑人:伊人伊梦

因动点产生的相似三角形问题 答案:

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1.(2015?无锡校级三模)已知抛物线y=﹣x+1的顶点为P,点A是第一象限内该二次函数图象上一点,过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B,分别过点B、A作x轴的垂线,垂足分别为C、D,连结PA、PD,PD交AB于点E,△PAD与△PEA相似吗?( )

A.始终不相似 B.始终相似

C.只有AB=AD时相似 D.无法确定 【考点】二次函数综合题. 【专题】压轴题.

【分析】先求出点P的坐标,从而得到OP的长,再设点A的横坐标为m,表示出AD,再表示出OD、OF、PF、AF,然后根据△PEF和△PDO相似,根据相似三角形对应边成比例

列式求出EF,然后利用勾股定理表示出PA、PE、PD,从而得到应成比例且夹角相等,两三角形相似解答. 【解答】解:令x=0,则y=1, ∴OP=1,

设点A的横坐标为m,

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则AD=﹣m+1,

∵AB⊥y轴,AD⊥x轴,

∴AF=OD=m,OF=﹣m+1,PF=1﹣(﹣m+1)=m,

22222242

在Rt△PAF中,PA=PF+AF=(m)+m=m+m, 在Rt△POD中,PD=

=

=

2

2

2

2

=,再根据两边对

由AB∥x轴得,△PEF∽△PDO, ∴

=

即=

2

解得,PE=m

2

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2

∴PA=PD?PE=m+m, ∴

=

∵∠APE=∠DPA, ∴△PAD∽△PEA,

即,△PAD与△PEA始终相似. 故选B.

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【点评】本题是二次函数综合题,主要考查了二次函数图象上点的坐标特征,相似三角形的判定与性质,勾股定理的应用,表示出两个三角形的公共角的夹边成比例是解题的关键.

2.(2016?贵阳模拟)如图所示,抛物线y=x+bx+c经过A、B两点,A、B两点的坐标分别为(﹣1,0)、(0,﹣3). (1)求抛物线的函数解析式; (2)点E为抛物线的顶点,点C为抛物线与x轴的另一交点,点D为y轴上一点,且DC=DE,求出点D的坐标; (3)在第二问的条件下,在直线DE上存在点P,使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似,请你直接写出所有满足条件的点P的坐标.

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【考点】二次函数综合题. 【专题】代数几何综合题. 【分析】(1)把点A、B的坐标代入抛物线解析式,解方程组求出b、c的值,即可得解; (2)令y=0,利用抛物线解析式求出点C的坐标,设点D的坐标为(0,m),作EF⊥y轴

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于点F,利用勾股定理列式表示出DC与DE,然后解方程求出m的值,即可得到点D的坐标;

(3)根据点C、D、E的坐标判定△COD和△DFE全等,根据全等三角形对应角相等可得∠EDF=∠DCO,然后求出CD⊥DE,再利用勾股定理求出CD的长度,然后①分OC与CD是对应边;②OC与DP是对应边;根据相似三角形对应边成比例列式求出DP的长度,过点P作PG⊥y轴于点G,再分点P在点D的左边与右边两种情况,分别求出DG、PG的长度,结合平面直角坐标系即可写出点P的坐标.

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【解答】解:(1)∵抛物线y=x+bx+c经过A(﹣1,0)、B(0,﹣3),

∴,

解得,

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故抛物线的函数解析式为y=x﹣2x﹣3;

(2)令x﹣2x﹣3=0, 解得x1=﹣1,x2=3,

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则点C的坐标为(3,0),

∵y=x﹣2x﹣3=(x﹣1)﹣4, ∴点E坐标为(1,﹣4), 设点D的坐标为(0,m),作EF⊥y轴于点F,

2222222222

∵DC=OD+OC=m+3,DE=DF+EF=(m+4)+1, ∵DC=DE,

∴m+9=m+8m+16+1, 解得m=﹣1,

∴点D的坐标为(0,﹣1);

(3)∵点C(3,0),D(0,﹣1),E(1,﹣4), ∴CO=DF=3,DO=EF=1, 根据勾股定理,CD=在△COD和△DFE中, ∵

=

=

2

22

2

∴△COD≌△DFE(SAS), ∴∠EDF=∠DCO,

又∵∠DCO+∠CDO=90°, ∴∠EDF+∠CDO=90°, ∴∠CDE=180°﹣90°=90°, ∴CD⊥DE,

①分OC与CD是对应边时, ∵△DOC∽△PDC, ∴即

==, , ,

解得DP=

过点P作PG⊥y轴于点G, 则

=

=

即==,

解得DG=1,PG=,

当点P在点D的左边时,OG=DG﹣DO=1﹣1=0, 所以点P(﹣,0),

当点P在点D的右边时,OG=DO+DG=1+1=2,

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所以,点P(,﹣2); ②OC与DP是对应边时, ∵△DOC∽△CDP, ∴即

==

, ,

解得DP=3,

过点P作PG⊥y轴于点G, 则即

==

==

, ,

解得DG=9,PG=3,

当点P在点D的左边时,OG=DG﹣OD=9﹣1=8, 所以,点P的坐标是(﹣3,8),

当点P在点D的右边时,OG=OD+DG=1+9=10, 所以,点P的坐标是(3,﹣10),

综上所述,满足条件的点P共有4个,其坐标分别为(﹣,0)、(,﹣2)、(﹣3,8)、(3,﹣10).

【点评】本题考查了二次函数的综合题型,主要涉及待定系数法求二次函数解析式,勾股定理的应用,相似三角形对应边成比例的性质,(3)题稍微复杂,一定要注意分相似三角形的对应边的不同,点P在点D的左右两边的情况讨论求解.

3、(2016?重庆模拟)如图,已知抛物线y=﹣(x+2)(x﹣a)(a>0)与x轴交于点A,B(点A在点B右侧),与y轴交于点C,抛物线过点N(6,一4). (1)求实数a的值;

(2)在抛物线的对称轴上找一点H,使得BH+CH最小,求出点H的坐标;

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