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当x∈(0，1)时，g'(x)＜0，g(x)单调递减 当x∈(1，＋∞)时，g'(x)＞0，g(x)单调递增

(Ⅱ)由f '(x)＝2(x－1－lnx－a)＝0，解得a＝x－1－lnx

令Φ(x)＝－2xlnx＋x－2x(x－1－lnx)＋(x－1－lnx)＝(1＋lnx)－2xlnx 则Φ(1)＝1＞0，Φ(e)＝2(2－e)＜0 于是存在x0∈(1，e)，使得Φ(x0)＝0

令a0＝x0－1－lnx0＝u(x0)，其中u(x)＝x－1－lnx(x≥1) 由u'(x)＝1－

2

2

2

1≥0知，函数u(x)在区间(1，＋∞)上单调递增 x故0＝u(1)＜a0＝u(x0)＜u(e)＝e－2＜1 即a0∈(0，1)

当a＝a0时，有f '(x0)＝0，f(x0)＝Φ(x0)＝0 再由(Ⅰ)知，f '(x)在区间(1，＋∞)上单调递增 当x∈(1，x0)时，f '(x)＜0，从而f(x)＞f(x0)＝0 当x∈(x0，＋∞)时，f '(x)＞0，从而f(x)＞f(x0)＝0 又当x∈(0，1]时，f(x)＝(x－a0)－2xlnx＞0 故x∈(0，＋∞)时，f(x)≥0

综上所述，存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解.

【考点定位】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想.

【名师点睛】本题第(Ⅰ)问隐藏二阶导数知识点，由于连续两次求导后，参数a消失，故函数的单调性是确定的，讨论也相对简单.第(Ⅱ)问需要证明的是：对于某个a∈(0，1)，

2

f(x)的最小值恰好是0，而且在(1，＋∞)上只有一个最小值.因此，本题仍然要先讨论f(x)

的单调性，进一步说明对于找到的a，f(x)在(1，＋∞)上有且只有一个等于0的点，也就是在(1，＋∞)上有且只有一个最小值点.属于难题.

14.【2015高考天津，文20】（本小题满分14分）已知函数f(x)=4x-x,x?R, （I）求f(x)的单调区间;

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（II）设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证:对于任意的正实数x,都有f(x)￡g(x);

a1（III）若方程f(x)=a(a为实数)有两个正实数根x1，x2，且x1

3【答案】（I）f?x? 的单调递增区间是???,1? ,单调递减区间是?1,???;（II）见试题解析;（III）见试题解析. 【解析】

（I）由f￠(x)=4-4x3,可得f?x? 的单调递增区间是???,1? ,单调递减区间是?1,???;（II）g?x??f??x0??x?x0?,F?x??f?x??g?x? ,证明F?x? 在???,x0?单调递增,在

?x0,???单调递减,所以对任意的实数x,F?x??F?x0??0 ,对于任意的正实数x,都有

1af(x)￡g(x);（III）设方程g?x??a 的根为x2? ,可得x2????43,由g?x?在

12???,??? 单调递减,得g?x2??f?x2??a?g?x2?? ,所以x2?x2? .设曲线y?f?x? 在

原点处的切线为y?h?x?, 方程h?x??a 的根为x1? ,可得x1??a ,由h?x??4x 在在4???,??? 单调递增,且hx1??a?f?x1??h?x1? ,可得x1??x1, 所以

??1ax2?x1?x2??x1????43 .

34试题解析:（I）由f(x)=4x-x,可得f￠(x)=4-4x3,当f??x??0 ,即x?1 时,函数

f?x? 单调递增;当f??x??0 ,即x?1 时,函数f?x? 单调递减.所以函数f?x? 的单调

递增区间是???,1? ,单调递减区间是?1,???.

（II）设P?x0,0? ,则x0?4 ,f??x0???12, 曲线y?f?x? 在点P处的切线方程为

13y?f??x0??x?x0? ,即g?x??f??x0??x?x0?,令F?x??f?x??g?x? 即F?x??f?x??f??x??x?x0? 则F??x??f??x??f??x0?.

由于f￠(x)=4-4x3在???,??? 单调递减,故F??x?在???,??? 单调递减,又因为

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F??x0??0,所以当x????,x0?时,F??x??0,所以当x??x0,???时,F??x??0,所以F?x? 在???,x0?单调递增,在?x0,???单调递减,所以对任意的实数

x,F?x??F?x0??0 ,对于任意的正实数x,都有f(x)￡g(x).

11??a3（III）由（II）知g?x???12?x?4? ,设方程g?x??a 的根为x2? ,可得x2????43,

12??因为g?x?在???,??? 单调递减,又由（II）知g?x2??f?x2??a?gx2? ,所以x2?x2? .类似的,设曲线y?f?x? 在原点处的切线为y?h?x?, 可得h?x??4x ,对任意的

??x????,???,有f?x??h?x???x4?0 即f?x??h?x? .设方程h?x??a 的根为x1? ,

可得x1??a ,因为h?x??4x 在???,??? 单调递增,且hx1??a?f?x1??h?x1? ,因4??1a此,x1??x1, 所以x2?x1?x2??x1????43 .

3【考点定位】本题主要考查导数的几何意义及导数的应用.考查函数思想、化归思想及综合分析问题解决问题的能力

【名师点睛】给出可导函数求单调区间,实质是解关于导函数的不等式,若函数解析式中不含参数,一般比较容易.不过要注意求单调区间,要注意定义域优先原则,且结果必须写成区间形式,不能写成不等式形式;利用导数证明不等式是近几年高考的一个热点,解决此类问题的基本思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性和极值破解. 15.【2015高考新课标1，文21】（本小题满分12分）设函数f?x??e（I）讨论f?x?的导函数f??x?的零点的个数； （II）证明：当a?0时f?x??2a?aln2x?alnx.

2. a【答案】（I）当a￡0时，f￠(x)没有零点；当a>0时，f￠(x)存在唯一零点.（II）见解析 【解析】

试题分析：（I）先求出导函数，分a￡0与a>0考虑f??x?的单调性及性质，即可判断出零

+￥点个数；（II）由（I）可设f￠(x)在0，()的唯一零点为x，根据f??x?的正负，即可判

0定函数的图像与性质，求出函数的最小值，即可证明其最小值不小于2a+aln证不等式.

2，即证明了所a试题习题，尽在百度

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+￥试题解析：（I）f(x)的定义域为0，()a，f￠(x)=2e2x-x>0.

x()当a￡0时,f￠(x)>0，f￠(x)没有零点； 当a>0时，因为e2x单调递增，-a+￥)单调递增.又单调递增，所以f￠(x)在(0，xa1f￠(a)>0,当b满足00时，f￠(x)存在唯一零点.

44+￥（II）由（I），可设f￠(x)在0，()的唯一零点为x，当x?(0，x)时，f￠(x)<0;

00+当x违x0，()时，f￠(x)>0. )()单调递增，所以当x=x0+￥故f(x)在0，x0单调递减，在x0，值，最小值为f(x0). 由于2e2x0(时，f(x)取得最小

-a22a+2ax0+aln?2aaln. =0，所以f(x0)=2x0aax02. a故当a>0时，f(x)?2aaln考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力.

【名师点睛】导数的综合应用是高考考查的重点和热点，解决此类问题，要熟练掌握常见函数的导数和导数的运算法则、掌握通过利用导数研究函数的单调性、极值研究函数的图像与性质.对函数的零点问题，利用导数研究函数的图像与性质，画出函数图像草图，结合图像处理；对恒成立或能处理成立问题，常用参变分离或分类讨论来处理.

16.【2015高考浙江，文20】（本题满分15分）设函数f(x)?x?ax?b,(a,b?R).

2a2（1）当b=+1时，求函数f(x)在[-1,1]上的最小值g(a)的表达式；

4（2）已知函数f(x)在[-1,1]上存在零点，0?b?2a?1，求b的取值范围.

?a2?4?a?2,a??2,?【答案】(1)g(a)???1,?2?a?2,；(2)[?3,9?45]

?a2??a?2,a?2??4【解析】

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