实变函数复习题2010版

实变函数复习思考题

一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题后的括

号内.)

1. E是实数全体，则E是（ ）.

A. 可数； B.不可数； C.有限集； D.不可测集. 2. 有限个可数集的并集是（ ）.

A.可数； B.不可数； C.有限集； D.以上都不对. 3. 若A是有限集或可数集,B是不可数集,则（ ）.

A. A?B是可数； B. A?B是不可数； C. A?B?c； D. A?B?B. 4. 设f(x)是定义在E??n上的实函数,则下列式子不成立的是（ ）.

1??A.E[f?a]??Ef?a?； B.E[f?a]???n??n?1????E?fn?1???a?1?； ?n??C. E[f???]??E[fn?1?n]； D. E[f?a]??E?a?n?1f?a?n?.

5. 设Q是R1中有理数全体,则在R1中Q的导集Q?是（ ）. A. Q; B. ?; C. R1 ; D. R1\\Q. 6. 设?Gn?是一列开集,G???Gn?1n,则G一定是（ ）.

A.开集; B.闭集; C. G?型集; D. 开集，也是闭集. 7. 设?G?????是一族开集,G??G???? ,则G一定是（ ）.

A.开集; B.闭集; C. G?型集; D. 开集，也是闭集. 8. 设?F?????是一族闭集,F??F?,则F???一定是（ ）.

A.开集; B.闭集; C.F?型集; D. 开集，也是闭集. 9. 设?Fn?是一列闭集,F???Fn?1n,则F一定是（ ）.

A.开集; B.闭集; C.F?型集; D. 开集，也是闭集. 10. 设Q是?中有理数全体，则mQ?（ ）.

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A.0; B.??; C.1; D.不存在. 11. 关于Cantor集P,下述说法不成立的是（ ）.

A. P无内点; B. P中的点都为孤立点; C. P中的点都为聚点; D. P是闭集. 12. 设E是任一可测集,则( )．

A.E是开集; B．E是闭集;

C.???0,存在开集G?E,使得m(G\\E)??; D．E是F?型集或G?型集.

13. 设?En?是一列可测集合,且E1?E2???En??,则有( ). ??????A.m??En??limmEn; B. m??En??limmEn;

?n?1?n???n?1?n????????C. m??En??limmEn; D. m??En??limmEn.

?n?1?n???n?1?n??14. 设?En?是一列可测集合,且E1?E2???En??,mE1???,则有( ). ??????A.m??En??limmEn; B. m??En??limmEn;

?n?1?n???n?1?n????????C. m??En??limmEn; D. m??En??limmEn.

?n?1?n???n?1?n??15. 设E?Rn,mE???,?fn(x)?在E上几乎处处收敛于f(x).则( ). A．?fn(x)?在E上处处收敛于f(x);

B．?fn(x)?在E上依测度收敛于f(x);

C. ?fn(x)?在E上一致收敛于f(x);

D. 存在?fn(x)?的子列?fn(x)?,使得?fn(x)?在E上一致收敛于f(x).

ii16. 设f(x)是可测集E上的可测函数,则对任意的实数a,有( )．

A．E[f?a]是闭集; B．E[f?a]是开集; C. E[f?a]是零测集; D．以上都不对.

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17. 设f(x)是定义在E上的实值函数.令f(x)?max?f(x),0?,f(x)??min?f(x),0?,则下

??述哪个说法不成立的是（ ）

A．f?(x)与f?(x)都是定义E上的非负函数; B．f(x)?f?(x)?f?(x),f(x)?f(x)?f(x); C.E[f????0]?E[f??0]??;

D．f(x)在E上可测?f?(x)与f?(x)都在E上可测.

18. 设?fn(x)?是可测集E上的几乎处处有限的可测函数,则下述命题中是( )错误的． A．sup?fn(x)?是可测函数; B．inf?fn(x)?是可测函数;

nnC. 若fn(x)?f(x),则f(x)是可测的; D．若fn(x)?f(x),则fn(x)? f(x). 19. 设在可测集E上fn(x)?f(x),fn(x)?g(x).则( ). A.f(x)?g(x),x?E; B. f(x)?g(x),x?E;

C. f(x)?g(x)a.e.于E; D. ?f(x)dx?E?Eg(x)dx.

20. 设f(x)是可测集E上的可测函数,则f(x)是（ ）.

A. Lebesgue可积函数; B. f(x)在E上几乎处处连续;

C.存在简单函数列??n(x)?使?n(x)?f(x)a.e于E; D. mE[f???]?0. 21. 设f(x)是可测集E上的非负可测函数,则f(x)( )．

A．是E上的连续函数; B．是E上的勒贝格可积函数;

C.是E上的简单函数; D．在E上的积分确定.

22. 设f(x)是可测集E上的有界可测函数,则 ( )．

A．存在简单函数列??n(x)?使在E上一致收敛于f(x); B．f(x)是E上的勒贝格可积函数;

C. f(x)是E上的黎曼可积函数; D．f(x)在E上的积分确定.

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二、填空题:

11??1． 设Ai??1?,1?,i?1,2,?.则?Ai? .

??ii??i?11??2． 设Ai?0,1??,i?1,2,?.则?Ai? .

?i??i?1??????3． eS??An?? ，eS??An?? .

?n?1??n?1???4． 设?An?是Rn中任意一列集合,则limAn? ，limAn? . n??n??5． 设An?0,1?,.则limAn? . ??n?1,2,?n??n??6． 设?An?是一列集合,令Bn? ，则?Bn?是一列互不相交的集合,且?An?n?1???1??Bn?1n.

7． 给出(?1,1)与(??,??)之间的一一对应关系 .

n8． 设E?Rn,x0?R,则称x0是E的内点是指 .

n9． 设E?Rn,x0?R,则称x0是E的外点是指 .

n10． 设E?Rn,x0?R,则称x0是E的聚点是指 .

n11． 设E?Rn,x0?R,则称x0是E的孤立点是指 .

n12． 设E?Rn,x0?R,则称x0是E的界点是指

.

13． 设E?Rn,若 ,则称E是开集. 14． 设E?R,若 ,则称E是闭集. 15． 设E1是[0,1]中的全部有理点,则E1在R内的E1?? ,E1? ,E1? . 1?n第 4 页 共 11 页

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16． 设E2??(x,y)x2?y2?1?,求E2在R2内的E1?? ,

?E1? ,E1? .

17． 设P表示Cantor集,则P 完全集; P 内点;P? ;mP? .

18． 设(X,d)是度量空间,?Pn??X,P0?X,则limPn?P0是指 n?? .

19． 设E?Rn,则E的L外测度定义为:m?E? 其中 .

20． 设E?Rn,则称E是L可测的是指: .

21． 设E?Rn,?fn(x)?在E上依测度收敛于f(x).则存在?fn(x)?的子列?fn(x)?,使得

i?fni(x)在E上 收敛于f(x).

?22． Rn中可测集的全体所成的集类?是一 代数. 23． 设E表示(0,1)中的无理数构成的点集,则E? .

24． 设E是平面上单位正方形[0,1]?[0,1]中坐标都是有理数的点组成的集合,则

mE?__________.

25． 设f(x)是定义在可测集E?Rn上的广义实值函数,则称f(x)在E上是可测的是指: .

26． 函数f(x)? 是不可测函数,其中 .

s27． 若?(x)的定义域E可分解为有限个互不相交的可测集合E1,E2,?,Es,E??Ei?1i,且当

x?Ei时,?(x)? ,i?1,2,?,s.则称f(x)是简单函数.

28． 设⑴mE??;⑵?fn(x)?是E上一列几乎处处有限的可测函数;⑶limfn(x)?f(x)a.e.于E,

n??且f(x)??a.e.于E.则???0,?E??E,使得mE???,而?fn(x)?在 上一致收敛于f(x).

29． 设f(x)是E上a.e.有限的可测函数,则???0,存在闭子集F??E,使f(x)在 上是连续函数,且m(E?F?)??.

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30． 设f(x)是[0,1]上的Riemann可积函数，E是f(x)的不连续点全体，则mE?_________. 31． 函数f(x)? 在[0,1]上的Riemann可积但不Lebesgue可积的.

?x,?e,x32． 设f(x)??x?P,x?[0,1]\\P.其中P是Cantor集,则??0,1?f(x)dx?________.

33． 设f(x)?sinx,x?[0,2?],则f?(x)? ; f?(x)? . 34． 设E?Rn.则f(x)在E上L可积的充要条件是f?(x)与f?(x)在E上 . 35． 设E?Rn.若f(x)在E上L可积,则mE[f???]? .

s36． 若?(x)的定义域E可分解为有限个互不相交的可测集合E1,E2,?,Es,E??Ei?1i,且当

x?Ei时,?(x)?ci,i?1,2,?,s.则?(x)在E上的L积分定义为??(x)dx? .

L37． 设f(x)是可测集E?Rn上的非负可测函数,则f(x)在E上的L积分定义为

?Ef(x)dx? .

??38． 设f(x)是可测集E?Rn上的可测函数,若?f(x)dx与?f(x)dx中至少有一个是有限数,

EE则f(x)在E上的L积分定义为?f(x)dx? .

E三、判断题(判断下列命题正确与否,正确的在题前的括号内填“是”，错误的在题前的括号内填“否”): （ ）1. 任何无限集合必有可数真子集. （ ）2. 可数个可数集合的并集是可数集.

1（ ）3. 设A,B?R,若A?B,则mA?mB.

（ ）4. 集合的对等关系是等价关系.

（ ）5. 可数多个可测集合的交仍是可测集合. （ ）6. 可数多个可测集合的并仍是可测集合.

（ ）7. 直线上的开集至多是可数多个互不相交的开区间的并.

（ ）8. 平面上的开集可以表示为可数多个互不相交的左开右闭区间的并. （ ）9. 零测集上的任何函数均可测.

（ ）10. 任何具有正测度的集合一定含有不可测子集. （ ）11. 开集减闭集后的差集仍是开集. （ ）12. 闭集减开集后的差集仍是闭集.

1（ ）13. 设E为R的可测子集,mE?0,则E是一定含有一个区间.

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（ ）14. 若A为可测集,且mA?0,则A一定是可数集或有限集. （ ）15. 若E为R1的无界可测子集,则E的测度必为??. （ ）16. 设A为可数集,B为有限集.则A?B为可数集. （ ）17. 若E是有界可测集,则mE???. （ ）18. 两个简单函数的代数和仍是简单函数. （ ）19. 两个简单函数的积仍是简单函数.

（ ）20. 设E为R1的可测子集,若mE?0,则mE?0. （ ）21. 实直线上至少含有一个内点的集的外测度一定大于零. （ ）22. mE?0?E是有限集或可数集.

（ ）23. 由直线上互不相交的开区间所成之集是可数集. （ ）24. 任何集合上的常量函数均可测.

（ ）25. 若开集G1是开集G2的真子集,则mG1?mG2.

（ ）26. 设f(x),g(x)是可测集E上的可测函数,则f(x)?g(x)也是E上的可测函数. （ ）27. 任何集合上的连续函数一定是可测函数. （ ）28. 函数的几乎处处相等关系是等价关系.

（ ）29. 设f(x),g(x)是可测集E上的可测函数,则f(x)g(x)也是E上的可测函数. （ ）30. f(x)在E上可测?|f(x)| 在E上可测.

（ ）31. 若f(x)是可测集E上的L可积函数,则f(x)是E上的有界函数. （ ）32. 零测集上的任何函数都可积,其积分值为零.

（ ）33. 设f(x)是可测集E上的L可积函数,g(x)?f(x),a.e.于E,则g(x)也是E上的L可积

函数,且?g(x)dx?E?Ef(x)dx.

（ ）34. 设f(x),g(x)是可测集E上的可积函数,则f(x)g(x)也是E上的L可积函数. 四、证明题:

1. 证明: ⑴????????A???B????(A?B)A; ⑵???????B??????????(A??B).

???2. 设f(x)是定义在E?Rn上的实函数.则

⑴E[f?a]?1??; Ef?a????n??n?1?第 7 页 共 11 页

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?⑵E[f?a]??E?fn?1???a?1?; ?n??⑶E[f???]??E[fn?1?n];

???⑷E[f?a]???E?a?f?a?n???E[f???].

?n?1?3. 证明:由直线上某些互不相交的开区间作为集A的元素,则A至多是可数集. 4. 证明:若A是有限集或可数集,B是可数集,则A?B是可数集.

?5. 证明闭包与开核之间的关系:⑴痧E?(E). E?E;⑵痧?6. 证明:每个闭集必是可数个开集的交集; 每个开集必是可数个闭集的和集.

7. 设f(x)是(??,??)上的实值连续函数,则?a?R,E??xf(x)?a?是一开集,而

F??xf(x)?a?总是一闭集.

8. 证明:f(x)为[a,b]上的连续函数??c?R,集合E??xf(x)?c?与E2??xf(x)?c?都是闭集.

9. 证明:集合E可测的充要条件是对?A?E,B?Ec有m?(A?B)?m?(A)?m?(B). 10. 设E?Rn.若???0,存在开集G,使得G?E,且m?(G?E)??,则E是可测集. 11. 设E?Rp,则存在G?型集G,使得G?E,且mG?m?E. 12. 证明:可数点集的外测度为零. 13. 若m?E?0,则E可测.

14. 设A,B为可测集,证明:m?A?B??m?A?B??mA?mB.

15. 设A??0,1?可测，mA?1，则对任意可测集B??0,1?，有mB?m(A?B). 16. 设mA?0，B为任一点集，则有m*(A?B)?m*B .

17. 若E1,E2为任意二点集，且其中之一的外侧度有限，则有m*(E1?E2)?m*E1?m*E2. 18. 若m*(E1?E2)?m*(E2?E1)?0,则有

m*(E1?E2)?m*(E1?E2)?m*E1?m*E2.

19. 设可测集E?R，则E上的单调函数f(x)是可测函数.

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20. 可测集E上的任一连续函数f(x)是可测函数.

21. 证明:若E可测,则???0,恒有开集G及闭集F,使F?E?G,而m(G?E)??,

m(E?F)??.

22. 设E?Rn,若???0,存在闭集F?E,使得m?(E?F)??,证明E是可测集. 23. 设f(x)与g(x)是E上的可测函数,证明E[f?g]是可测集. p?1,x?,p,q为自然数，且?q24. 试证，黎曼函数R(x)??q?0,x为0，1及?0,1?中的无理数，?pq为既约分数，

是?0,1?上的可测函数.

25. 设E?R,f(x)是E上几乎处处有限的可测函数,证明:存在R上的一列连续函数?gn(x)?,使

得limgn(x)?f(x)a.e.于E.

n??26. 设mE???,?fn(x)?是E上几乎处处有限的可测函数列,?fn(x)?在E上几乎处处收敛于几

乎处处有限的函数f(x),证明:fn(x)?f(x).

27. 设函数列fn(x)(n?1,2,?)在有界集E上“基本上”一致收敛于f(x),证明:?fn(x)?a.e.收

敛于f(x).

28. 设E是可测集.若???0,存在闭子集F??E,使得f(x)在F?上是连续函数,且

m(E\\F?)??.则f(x)是E上a.e.有限的可测函数.

29. 设在E上fn(x)?f(x),而fn(x)?gn(x)在E上几乎处处成立, n?1,2,?,则

gn(x)?f(x).

30. 设mE???,几乎处处有限的可测函数列fn(x)和gn(x),n?1,2,?,分别依测度收敛于f(x)和g(x),证明:fn(x)?gn(x)?f(x)?g(x).

31. 设E?Rq为可测集,f(x)为E上的非负可测函数.若mE?0,?f(x)dx?0.

E32. 设E?Rq为可测集,f(x)为E上的非负可测函数.若?f(x)dx?0,则f(x)?0a.e.于E.

E33. 设f(x)为E上的可积函数，如果对任何有界可测函数?(x)都有?f(x)?(x)dx?0，则

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f(x)?0a.e.于E

34. 设E?Rq为可测集,f(x)为E上的非负可测函数.若0?0?f(x)???a.e.于E.

?Ef(x)dx???,则

35. 设E?Rq为可测集, 若f(x)在E上积分确定,且f(x)?g(x)a.e.于E,则g(x)在E上也积

分确定且?f(x)dx?E?Eg(x)dx.

?36. 设?(x)为可测集E?Rq上的非负简单函数，?An?n?1是E的一列可测子集,满足

?A1?A2???An?An?1??且?An?E,即limAn?E,则limn?1n??x???An?(x)dx??E?(x)dx.

37. 设E?Rq为可测集,若f(x)在E上L可积,则f(x)也在E上L可积且

?Ef(x)dx??Ef(x)dx.

38. 设E?Rq为可测集，f(x)和g(x)都是E上非负可测函数，?和?都是非负实数，则

?E[?f(x)??g(x)]dx???f(x)dx???g(x)dx.

EE39. 设E?Rq为可测集,f(x)在E上L可积.若A,B是E的两个互不相交的可测子集,则

?A?Bf(x)dx??Af(x)dx??Bf(x)dx.

40. 设E?Rq为可测集,f?L(E),则:???0,???0,使得对任何可测集A?E,只要mA??,

就有

?Af(x)dx??,即对任何可测子集A?E,有limmA?0?Af(x)dx?0.

41. 设?fn?为在E上的非负可测函数列.若limn???Efn(x)dx?0,则fn(x)?0.

42. 设mE??,?fn?为a.e.有限的可测函数列.证明:limn???fn(x)E1?fn(x)dx?0?fn(x)?0.

43. 设f(x)是[a,??]上的一个非负实函数,若?A?a,f(x)在[a,A]上R可积且R反常积分

(R)???af(x)dx收敛, 则f(x)在[a,??]上L可积且的(L)?10[a,??]f(x)dx?(R)???af(x)dx.

44. . 求证:?45. 若

11?xxp1?xln1x?dx??(p?n)n?1312 (p??1)

121314?(1?x)?(x?x)??,0?x?1,试证ln2?1?2????.

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五、计算题：

1．设A2n?1??0,??1??,A2n?(0,n),n?1,2,?,求集列?An?的上限集与下限集. n?3?x?,x?Q[0,1],2. 设f(x)?? 问f(x)在[0,1]上黎曼可积吗？勒贝格可积吗？若可积,则计算

x?Q[0,1].??1,其积分值. 3. limn???10nx224. limn????1?nx1nx2??sinxdx. dx. e?x501?nxn25. limln(x?n)n??0cosxdx.

6. limn?????0xdx.

n7. 设f(x),g(x)是定义在可测集E上的可测函数,且f(x)?g(x)a.e.于E，若f(x)可积,则

??x,x?Q[0,1],f(x)dx这里f(x)??

??x,x?Q[0,1].g(x)也可积,并由此计算?[0,1]8. limn???dt(0,??)t?n?1???tn??x?Q[0,1],x?Q[0,1].n1.

9. 计算?

[0,1]??1,f(x)dx，其中f(x)????0,

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