19．随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同． （1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？

（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？ 【考点】AD：一元二次方程的应用；B7：分式方程的应用．

【分析】（1）设每台B种空气净化器为x元，A种净化器为（x+300）元，根据用6000元购进B种空气净化器的数量与用7500元购进A种空气净化器的数量相同，列方程求解； （2）根据总利润=单件利润×销量列出一元二次方程求解即可．

【解答】解：（1）设每台B型空气净化器为x元，A型净化器为（x+300）元， 由题意得，解得：x=1200，

经检验x=1200是原方程的根， 则x+300=1500，

答：每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元；

（2）设B型空气净化器的售价为x元，根据题意得；（x﹣1200）（4+解得：x=1600，

答：如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为1600元．

20．在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图形与反比例函数y=（k≠0）的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点，过点A作AH⊥y轴，垂足为H，OH=3，tan∠AOH=，点B的坐标为（m，﹣2）． （1）求△AHO的周长；

）=3200，

=

，

（2）求该反比例函数和一次函数的解析式．

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】（1）根据正切函数，可得AH的长，根据勾股定理，可得AO的长，根据三角形的周长，可得答案； （2）根据待定系数法，可得函数解析式． 【解答】解：（1）由OH=3，tan∠AOH=，得 AH=4．即A（﹣4，3）． 由勾股定理，得 AO=

=5，

△AHO的周长=AO+AH+OH=3+4+5=12； （2）将A点坐标代入y=（k≠0），得 k=﹣4×3=﹣12， 反比例函数的解析式为y=当y=﹣2时，﹣2=

；

，解得x=6，即B（6，﹣2）．

将A、B点坐标代入y=ax+b，得

，

解得，

一次函数的解析式为y=﹣x+1．

21．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，O是AB边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点E． （1）若AC=6，BC=10，求⊙O的半径．

（2）过点E作弦EF⊥AB于M，连接AF，若∠AFE=2∠ABC，求证：四边形ACEF是菱形．

【考点】MC：切线的性质；Q：勾股定理；L9：菱形的判定．

【分析】（1）连接OE，设圆的半径为r，在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AB的长，根据BC与圆相切，得到OE垂直于BC，进而得到一对直角相等，再由一对公共角，利用两角相等的三角形相似得到△BOE与△ABC相似，由相似得比例求出r的值即可；

（2）利用同弧所对的圆周角相等，得到∠AOE=4∠B，进而求出∠B与∠F的度数，根据EF与AD垂直，得到一对直角相等，确定出∠MEB=∠F=60°，CA与EF平行，进而得到CB与AF平行，确定出四边形ACEF为平行四边形，再由∠CAB为直角，得到CA为圆的切线，利用切线长定理得到CA=CE，利用邻边相等的平行四边形为菱形即可得证．

【解答】（1）解：连接OE，设圆O半径为r， 在Rt△ABC中，AC=6，BC=10， 根据勾股定理得：AB=∵BC与圆O相切， ∴OE⊥BC，

∴∠OEB=∠BAC=90°， ∵∠B=∠B， ∴△BOE∽△BCA， ∴

=

，即=

，

=8，

解得：r=3； （2）∵

=

，∠AFE=2∠ABC，

∴∠AOE=2∠AFE=4∠ABC， ∵∠AOE=∠OEB+∠ABC， ∴∠ABC=30°，∠F=60°， ∵EF⊥AD，

∴∠EMB=∠CAB=90°， ∴∠MEB=∠F=60°，CA∥EF， ∴CB∥AF，

∴四边形ACEF为平行四边形， ∵∠CAB=90°，OA为半径， ∴CA为圆O的切线， ∵BC为圆O的切线， ∴CA=CE，

∴平行四边形ACEF为菱形．

22．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合），以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF．

（1）观察猜想：如图（1），当点D在线段BC上时， ①BC与CF的位置关系是： BC⊥CF ；

②BC、CD、CF之间的数量关系为： BC=CF+CD （将结论直接写在横线上）

（2）数学思考：如图（2），当点D在线段CB的延长线上时，上述①、②中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请你写出正确结论再给予证明．

【考点】LO：四边形综合题．

【分析】（1）①根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质即可得到结论；

②由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质得到CF=BD，∠ACF=∠ABD，根据余角的性质即可得到结论；

（2）根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论．

【解答】解：（1）①正方形ADEF中，AD=AF， ∵∠BAC=∠DAF=90°， ∴∠BAD=∠CAF， 在△DAB与△FAC中， ∵

，

∴△DAB≌△FAC， ∴∠B=∠ACF，

∴∠ACB+∠ACF=90°，即BC⊥CF； 故答案为：BC⊥CF； ②△DAB≌△FAC，