“悱”是经过思考想要表达而又表达不出来的窘境。（74） “发”教师去指导学生把事情表达出来。 “愤悱术”的最大特点在于把握启发的时机。（见P74） “产婆术”是古希腊学者苏格拉底提出的启发式教育思想。（选择题）其基本要义是教师凭借正确的连环提问，刺激、诱导、调控学生的思考，引导学习者沿着教师所希望的方向，通过自身的思考，亲自去发现真理。

“产婆术”启发式的基本展开方式是：“问—答—问—答”。

苏格拉底把“产婆术”又称为“问答术”、“对话术”的原因是他认为自己是一个没有一点现成的知识，始终只知提问的人。（75）

“产婆术”的最大特点在于把握发问的技术。（是非题）（见P75）这种启发的方式在数学教学中使用比较普遍。（毕竟数学中的很多问题不是学生自己所能够提出来的，很多数学方法也不是学生自己所能完全独立发现的，对学生而言，数学中多数问题的提出和方法的发现，离不开教师的这种发问式的暗示和启迪。）

这种“问答式”启发，由于学生的回答必然朝着老师所引导的方向发展，因而似乎学生比较被动，但是这种发问的关键是教师问而不答，而问题的思考、问题的解决都是学生自己完成的。在这个过程中，学生仍然是积极主动的探索者，教师的向导作用则好比为侦破案件提供一些寻找证据的线索。（75）

贯彻启发性原则时，有一种“时间等待”理论。“时间等待”理论是启发性原则的一种极好体现，它可以大大克服教师越俎代庖，代替学生思考的现象。（75）

理论联系实际的原则

数学与现实世界有着密切的关系。

抽象数学知识的产生过程离不开生活中的普通常识或者由生活常识发展而来的数学常识。（75）因此，数学教学应遵循理论联系实际的原则，尽可能地从学生已有的生活经验出发，注意突出某些数学对象的实际背景，培养学生用数学的意识，使抽象的理论化数学与现实原型紧密结合起来。

理论联系实际的原则。第一，使学生适时借助已有的生活经验理解数学；第二，突出某些数学对象的实际背景；第三，加强数学实际应用的教学；第四，防止理论联系实际的庸俗化。（75）

5.2.2数学教学的特殊原则 数学教学的特殊原则。1.“把握数学抽象性的淡化”的原则；2.“摆脱教学严谨性的束缚”的原则；3.“突出策略创造精神”的原则；4.“加强数学语言训练”的原则。（76）

数学教育中如何“把握数学抽象性的淡化”。

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第一，坚持循环渐进，逐步深入；

第二，强调从特殊到一般，从具体到抽象； 第三，克服急于求成，急功近利的思想； 第四，处理数学抽象性要有全局观念。（77） 2.“摆脱教学严谨性的束缚”的原则。

数学教学中如何把握“摆脱教学严谨性的束缚”的原则。（78） 第一，数学知识的发生是逐步走向严格的。

第二，多数学生无需掌握逻辑十分严谨的 数学理论。 第三，非形式演绎的数学也是数学。

第四，摆脱严谨性的束缚不等于不要数学 的严谨性。

“摆脱数学严谨性的束缚”原则，是针对过分追求数学严谨性所带来的弊端而言的，其真正的含义则应该是重视数学严谨性，又不被数学严谨性所束缚。（79）3“突出策略创造精神”的原则

“策略创造”是根据数学的探索性特征提出来的，就是“合情推理”。（80）

数学教学中如何“突出策略创造精神”的原则。 第一，将教材还原为数学的创造性思想活动。 第二，加强数学基本思想方法的教学。4.“加强数学语言训练” 的原则

数学有自己的一整套符号语言，数学的概念、命题、计算、论证都是用专门的数学语言表达和描述的，数学的思想活动是以数学语言作为思维工具来进行的。因此数学教学在某种意义上就是一种语言的教学。

加强数学语言训练，主要包括两个方面的内容：一个是提高对数学语言符号的阅读、理解、转换和运用的能力；另一个是提高将日常语言理解、抽象和转化为数学语言的能力。（80）

对数学语言的学习和训练并不局限于数学内部。（数学是现实的数学，数学教育也应该是现实数学的教育。数学教育不仅要教学数学，也要教用数学，也就是把学习“数学化”放在重要的位置上。

让学生学习数学化，就是让他们如何将非数学问题转化为数学问题，即根据客观现实形成数学概念，用数学语言改造成纯数学的问题，并构造数学模型来解决问题。这就不仅要求学生运用数学语言，还要求学生阅读用普通语言描述的具体材料，从中捕捉各种信息，抽象其中的数量关系或形式结构，将日常文字语言转化成数学符号语言。）（81）

数学教学中，数学语言贯穿于数学内容的始终，尽管经过本国语言教学，你认识数学定义中的每一个字和词，但你仍然不懂得其中的真正的含义，这就是数学语言和数学内容之间的矛盾。

5.3数学教学方法的特征

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教学方法是构成数学教学过程并且直接影响其效果的重要因素。对于同一个班级，讲授同样的教学内容，采用不同的教学方法，可以得到大不同的教学效果。（82）

简单地说，数学教学方法就是在数学教学过程中，教师和学生为实现教学目的，根据特定的数学教学内容，共同进行的一系列相互作用的活动的方法、方式、步骤、手段和技术的总和。

比较成熟的数学教学方法应该具备下列基本的特征：数学教学方法的综合性特征、数学教学方法的探究性特征、互动交流的情感性。（82）

数学教学方法的综合性特征具有两方面含义：一是在课堂教学上综合运用多种不同的教学方法；二是某一教学方法在目标追求上趋向于综合性，使教学方法更科学。

数学教学方法的综合性特征：（1）多种教学方法的综合（每种教学方法都各有优势和不足。数学教学方法讲求综合性，是因为没堂课所要完成的内容是复杂的，有多种具体内容，多种任务要求。不同的教学内容和教学任务，要求在一堂课中综合使用不同的教学方法。）（82）

“教学有法、教无定法、教贵得法”是公认的准则。（82）其所强调的正是教学不能用一个固定不变的教学方法，而要善于艺术地、灵活地综合运用多种教学方法。这也是由教学方法的科学性、艺术性的双重特点决定的。 （2）目标追求的综合性（任何一种教学方法总是要追求实现一定的教学目标。）

现代数学教学思想所提倡的教学方法大都强调教学目标的综合性，即不仅重视数学知识的传授、技能的训练，重视教学过程中认知目标的实现；而且重视数学兴趣的培养、情感的激发，激励学生主动的思维建构活动，开发智力、发展能力、培养创新意识和用数学的意识。（83）

数学教学方法的探究性特征：现代数学教学思想突出了教学实施过程的探究性特征。（即不仅重视学生系统地获取数学基本知识和技能，而且注重培养学生的学习方式和策略，使之通过自身的探索和研究，创造性地获取和掌握知识，逐步培养其“再创造、再发现”数学的能力和用数学的意识，将学习和掌握既定数学知识的过程转变为探究知识、发展能力的过程。）（83）

现代数学教学方法中，教师的作用不在于使一团知识明了化，而在于鼓励和指导学生的探究过程。（83）教师不再是指令学生按预设的套路学习，而是引导学生发现问题，提出猜想，尝试解决的方法，把精力用于指导学习的方法，培养学生自我教育的能力。 互动交流的情感性（84）

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整理完

第六章 数学概念的教学

数学概念教学历来在数学教学中处于核心地位。数学概念的形成过程是一个归纳、概括、抽象的过程。因此，概念学习应是一个探究的过程。一个数学概念的背后往往蕴含丰富的数学思想，有的数学概念本质上就是一种数学观念，是分析、处理问题的一种策略与方法。理解、掌握蕴含于数学概念中的思想，应是一个长期的探究过程。（96）

6.1把握数学概念的本质 对一个数学概念的学习，并不是仅仅能记住它、说出它的定义、认识代表它的符号，而是要真正能够把握它的本质属性。（尽管在数学对象的定义里已经反映了概念的本质属性，但要真正把握它的本质属性并不是那么容易的。）（96）

当前中学生的数学学习在把握数学对象的本质属性方面存在较多的问题，主要表现为对数学对象的本质属性理解不深刻，对同一数学对象的不同表达形式缺乏系统概括的理解。（96）

一般地说，一个特定数学对象，在一定的范围内保持不变的性质，就是该数学对象的本质属性。

函数的本质属性是映射（形式和符号都不是函数的本质）（97）

要真正把握数学对象的本质属性，很重要的一点是离不开对数学对象非本质属性的把握，两者同时把握了才可能真正达到对本质属性的把握。这也就是对数学对象的变式的把握。

复数的本质属性是有方向的数（不仅有方向意义，而且还有方向意义。即数量加方向）（97）

6.1.2把握同一数学对象的不同表达形式

在数学中，同一对象常常有不同的表达形式，能否熟练把握同

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