2020-2021备战中考数学培优专题复习锐角三角函数练习题附答案 下载本文

2020-2021备战中考数学培优专题复习锐角三角函数练习题附答案

一、锐角三角函数

1.图1是一种折叠式晾衣架.晾衣时,该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示,两支脚OC=OD=10分米,展开角∠COD=60°,晾衣臂OA=OB=10分米,晾衣臂支架HG=FE=6分米,且HO=FO=4分米.当∠AOC=90°时,点A离地面的距离AM为_______分米;当OB从水平状态旋转到OB′(在CO延长线上)时,点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处,则B′E′﹣BE为_________分米.

【答案】5?53 4 【解析】 【分析】

如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J.解直角三角形求出MQ,AQ即可求出AM,再分别求出BE,B′E′即可. 【详解】

解:如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J. ∵AM⊥CD,

∴∠QMP=∠MPO=∠OQM=90°, ∴四边形OQMP是矩形, ∴QM=OP,

∵OC=OD=10,∠COD=60°, ∴△COD是等边三角形, ∵OP⊥CD, ∴∠COP=

1∠COD=30°, 2∴QM=OP=OC?cos30°=53(分米), ∵∠AOC=∠QOP=90°, ∴∠AOQ=∠COP=30°, ∴AQ=

1OA=5(分米), 2∴AM=AQ+MQ=5+53. ∵OB∥CD,

∴∠BOD=∠ODC=60°

在Rt△OFK中,KO=OF?cos60°=2(分米),FK=OF?sin60°=23(分米), 在Rt△PKE中,EK=EF2?FK2=26(分米), ∴BE=10?2?26=(8?26)(分米),

在Rt△OFJ中,OJ=OF?cos60°=2(分米),FJ=23(分米),

2=2在Rt△FJE′中,E′J=62?6, (23)∴B′E′=10?(26?2)=12?26, ∴B′E′?BE=4.

故答案为:5+53,4.

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型.

2.如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC上一点,点F在射线CM上,∠AEF=90°,AE=EF,过点F作射线BC的垂线,垂足为H,连接AC. (1) 试判断BE与FH的数量关系,并说明理由; (2) 求证:∠ACF=90°;

(3) 连接AF,过A,E,F三点作圆,如图2. 若EC=4,∠CEF=15°,求

的长.

图1 图2

【答案】(1)BE=\;理由见解析 (2)证明见解析 (3)

=2π

【解析】

试题分析:(1)由△ABE≌△EHF(SAS)即可得到BE=FH

(2)由(1)可知AB=EH,而BC=AB,FH=EB,从而可知△FHC是等腰直角三角形,∠FCH

为45°,而∠ACB也为45°,从而可证明

(3)由已知可知∠EAC=30°,AF是直径,设圆心为O,连接EO,过点E作EN⊥AC于点N,则可得△ECN为等腰直角三角形,从而可得EN的长,进而可得AE的长,得到半径,得到

所对圆心角的度数,从而求得弧长 试题解析:(1)BE=FH.理由如下: ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠B=90°, ∵FH⊥BC ∴∠FHE=90°

又∵∠AEF=90° ∴∠AEB+∠HEF=\\且∠BAE+∠AEB=90° ∴∠HEF=∠BAE ∴ ∠AEB=∠EFH 又∵AE=EF ∴△ABE≌△EHF(SAS) ∴BE=FH

(2)∵△ABE≌△EHF

∴BC=EH,BE=FH 又∵BE+EC=EC+CH ∴BE=\ ∴CH=FH

∴∠FCH=45°,∴∠FCM=45° ∵AC是正方形对角线,∴ ∠ACD=45° ∴∠ACF=∠FCM +∠ACD =90°

(3)∵AE=EF,∴△AEF是等腰直角三角形

△AEF外接圆的圆心在斜边AF的中点上.设该中点为O.连结EO得∠AOE=90°

过E作EN⊥AC于点N

Rt△ENC中,EC=4,∠ECA=45°,∴EN=NC=Rt△ENA中,EN =∴∠EAC=30° ∴AE=

又∵∠EAF=45° ∠CAF=∠CEF=15°(等弧对等角)

= EF,∴AF=8

Rt△AFE中,AE=

AE所在的圆O半径为4,其所对的圆心角为∠AOE=90° =2π·4·(90°÷360°)=2π

考点:1、正方形;2、等腰直角三角形;3、圆周角定理;4、三角函数

3.如图,平台AB高为12m,在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°,底部点C的俯角为30°,求楼房CD的高度(3=1.7).

【答案】32.4米. 【解析】

试题分析:首先分析图形,根据题意构造直角三角形.本题涉及多个直角三角形,应利用其公共边构造关系式求解.

试题解析:如图,过点B作BE⊥CD于点E, 根据题意,∠DBE=45°,∠CBE=30°. ∵AB⊥AC,CD⊥AC, ∴四边形ABEC为矩形, ∴CE=AB=12m, 在Rt△CBE中,cot∠CBE=

BE, CE∴BE=CE?cot30°=12×3=123, 在Rt△BDE中,由∠DBE=45°, 得DE=BE=123.

∴CD=CE+DE=12(3+1)≈32.4. 答:楼房CD的高度约为32.4m.

考点:解直角三角形的应用——仰角俯角问题.

4.已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D、E分别在BC、AC边上,连结BE、AD交于点P,设AC=kBD,CD=kAE,k为常数,试探究∠APE的度数: (1)如图1,若k=1,则∠APE的度数为 ;

(2)如图2,若k=3,试问(1)中的结论是否成立?若成立,请说明理由;若不成立,求出∠APE的度数.